Enoncé incompris

[Archytas]

Salut, je suis tombé sur un énoncé que je ne comprends pas (ou il y a une erreur):

Soit E un ensemble. Démontrer que, pour que E soit fini, il faut et il suffit que toute partie non vide de P(E) admette au moins un élément maximal (pour l'inclusion)

Est-ce que ce serait pas plutôt des extremums au lieu d'élément maximal ? Si on prend toute partie non vide de E est majorée pourtant il est infini, non ?

[capitaine nuggets]

Salut !

Je ne comprends pas bien ce que signifie...

[wserdx]

attention à ne pas confondre E et P(E): ensemble des parties de E

[Archytas]

Désolé oui, c'est "privé de" mais "\" ne passe pas en balise TEX, en bref c'est les entiers négatifs... Et oui mais le problème reste le même E appartient à P(E), et la règle est vérifiée même pour P(E), non ?

[Skullkid]

Bonjour, comme l'a dit wserdx, tu es en train de confondre E et P(E). Ce que tu dois montrer c'est "E fini <=> Si (A_i) est une famille quelconque de parties de E (tous les A_i sont inclus dans E) il existe un A_k qui n'est inclus dans aucun autre A_i"

Pour Z\N, la famille ({-1},{-1,-2},{-1,-2,-3},...,{-1,...,-n},...) n'admet pas d'élément maximal pour l'inclusion.

[wserdx]

je pense aussi qu'il manque un critère : il faut que la partie de P(E) soit ordonnée pour l'inclusion

[Archytas]

Pour Z\N, la famille ({-1},{-1,-2},{-1,-2,-3},...,{-1,...,-n},...) n'admet pas d'élément maximal pour l'inclusion.

Je vois où est la confusion, merci, dans ce cas qu'appelle-t-on un élément maximal pour l'inclusion ? Un élément de cardinal maximal ?

Je sais que ça n'a rien à voir avec l'énoncé mais pouvez vous me dire si de la manière dont je l'ai compris (avec les extremums l'énoncé est vrai :

Soit E un ensemble. Montrer que pour que E soit fini il faut et il suffit que toute partie non vide de E admette un minimum et un maximum.

Je ne vois pas de contre exemple mais de là à ce que ce soit vrai...

EDIT: je viens de comprendre un élément maximal pour l'inclusion est un élément tel que tous les autres éléments sont inclus dedans ??

[wserdx]

Sur P(E), la relation d'inclusion est une relation d'ordre partiel, complètement indépendante de toute relation d'ordre que pourrait avoir E lui-même.
Si E est muni d'une relation d'ordre total, je pense en effet comme tu le dis que E est fini ssi toute partie de E contient ses bornes.
Pour utiliser P(E) muni de l'inclusion comme relation d'ordre, je dirais que E est fini (et donc aussi P(E)) ssi tout chaine (partie totalement ordonnée de P(E)) contient son majorant.

[Archytas]

J'ai pas tout compris désolé ...
Pour l'élément maximal, c'est ce que j'ai dit en "EDIT" ou non ?
ça me semble bizarre si on prend E={1,2,3}
Et A={{1},{3}}, A est bien un ensemble de partie de E pourtant aucune n'est inclue dans l'autre et E est pourtant bien fini :mur: !

[Skullkid]

Il y a plusieurs notions à ne pas confondre. Un élément maximal de A c'est un élément de A tel qu'aucun autre élément de A ne lui est supérieur. Un maximum de A c'est un élément de A qui est supérieur à tous les autres éléments de A (et s'il existe alors il est unique).

Si A = {{1},{3}}, {1} et {3} sont deux éléments maximaux de A, mais A n'a pas de maximum.

[wserdx]

Désolé d'avoir peut-être rajouté de la confusion à la confusion, je n'avais pas bien vu que le terme utilisé était "élément maximal".
Ton énoncé du premier post est donc effectivement correct.
Si E est fini, toute partie de P(E) est finie, la relation d'inclusion étant un ordre partiel , son graphe ne contient pas de cycle, et sur toute partie finie, il y a donc au moins un élément maximal (élément contenu dans aucun autre).
Si E est infini, on peut construire une suite infinie d'éléments de E, distincts deux à deux.
On construit alors la suite qui n'a donc pas d'élément maximal.

[Archytas]

Si E est fini, toute partie de P(E) est finie, la relation d'inclusion étant un ordre partiel , son graphe ne contient pas de cycle, et sur toute partie finie, il y a donc au moins un élément maximal (élément contenu dans aucun autre).

Je pense que vous utilisez des outils trop poussés pour moi, l'exercice est sensé pouvoir être traité en début de sup. Cela dit j'ai peut être tapé un peu haut pour cet exo...

[wserdx]

La notion de cycle n'est pas très "méchante". L'idée qu'on veut montrer est que toute partie finie munie d'un ordre admet un (au moins un) élément maximal.
On part d'un élément au hasard: soit il est maximal et c'est fini, soit il ne l'est pas, c'est donc qu'il y a un élément plus grand. En itérant le procédé avec ce nouvel élément, on va potentiellement visiter tous les éléments (qui sont en nombre fini). Donc soit le procédé s'arrête: c'est qu'on a trouvé un élément maximal. Soit on retombe sur un élément déjà visité : mais dans ce cas on tombe sur un "cycle". Mais comme pour une relation d'ordre on a: si et alors . Par extension, on déduit qu'une relation d'ordre n'a pas de cycle.

[Archytas]

D'accord, merci, je m'y repencherais plus tard avec l'esprit plus clair (: ! Bonne journée !