Enigme mathématique

[Ainow]

Bonjour et bonne année à vous,
Je fais appel à vous car je suis bloqué face à une question mathématique qui m'est demandé de résoudre, voici la question:
Existe-t-il un ensemble fini A de points du plan contenant au moins trois points tel que trois points de A ne sont jamais alignés et tel que le centre de tout cercle passant par au moins trois points de A est dans A ?
C'est n'ayant aucune idée de comment traiter cette question que je demande votre aide.

[Ainow]

à l'aide du logiciel géogébra j'ai fais des test avec des points placé aléatoirement et à chaque fois cela semblait donner une infinité de de nouveaux points de A.
J'ai aussi constaté que 3 points de A ne pouvait pas former un triangle rectangle sinon le centre du cercle résultant serai aligné avec deux sommet de ce triangle.

[pascal16]

tu peux partir de deux points distincts A et B ?
s'il existe un 3 ieme point, où se trouve le centre C du cercle rapport au segment AB ?
en à l'itération suivante, où se le centre C' du cercle passant par A, B et C rapport au segment AB ?
en à l'itération suivante, où se le centre C'' du cercle passant par A, B et C' rapport au segment AB ?
il ne reste plus grand chose pour conclure

[Ainow]

Je suis désolé je n'ai pas compris pourquoi vous proposez de partir de deux points, il faut pas plutôt partir de 3 points vu que l'énoncé indique qu'il y a au moins 3 points dans l'ensemble ?

[Ainow]

Lorsque vous me dites "s'il existe un 3 ième point, où se trouve le centre C du cercle rapport au segment AB ?"
vous parlez d'un cercle qui passe par A et B ? parce qu'il me semble qu'il en existe une infinité?

[pascal16]

son centre est sur la médiatrice de [AB]
donc ensuite on crée une suite de points sur la médiatrice de [AB]

soit ils y a en a au moins 3 distincts deux à deux, et cela contredit l'hypothèse de non alignement
soit on arrive à les créer pour qu'il y en ai au plus 2, est-ce possible ?

[Ainow]

A priori il y a une infinité de points sur la médiatrice qui sont des centres d'un cercle passant par AB, donc cela contredit l'alignement, mais l'énoncée demande dit que chaque cercle doit passer par au moins 3 points de A, mais ici le cercle ne passe que par deux points. Je ne suis pas sur de comprendre..

[pascal16]

ma façon de voir n'est pas forcément la meilleure, j'ai décalé mes indices

on peut partir de deux points distincts A et B
il existe un 3 ieme point C,
le centre C' du cercle passant par A, B et C est sur la médiatrice de [AB]
le centre C'' du cercle passant par A, B et C' est sur la médiatrice de [AB]
le centre C''' du cercle passant par A, B et C'' est sur la médiatrice de [AB]

si C''' n'est pas confondu avec C', on a contradiction

[Ainow]

En traçant ce que vous avez dit sur géogebra, je trouve que c, c' et c'' sont alignés et donc ne vérifie plus la condition, donc il semblerait qu'il y ait un nombre de point limité vérifiant la condition vis à vis du segment AB,
Mais si on applique la même méthode pour d'autre segment et que cela crée de nouveaux points, est ce que cela veut dire que le nombre de point de A est infini?

[pascal16]

si C''' n'est pas confondu avec C', on a 2 contradictions
-> le nombre de points est infini
-> il y a plein de points alignés

[Ainow]

Du coup si on a C''' et C' on obtient une infinité de points alignés, est ce que cela veut dire que l'ensemble A décrit par l'énoncé n'existe pas du coup ?

[Ainow]

Par contre, je n'arrive pas expliquer le cas ou C et C''' sont confondus..