Enigme des enveloppes remasterisée

[Judoboy]

J'ai hésité à poster dans le topic énigmes mais y a beaucoup plus de trafic ici.

On refait l'énigme des enveloppes avec un énoncé custom : Je vous donne 2 enveloppes dans lesquelles j'ai écrit 2 sommes S1 et S2 euros, entières, qui sont toutes les 2 tirées selon une loi à espérance infinie (par exemple celle dont on parlait dans l'autre topic : P(X=k) = (6/Pi²) * 1/k²).

Je vous laisse tirer une enveloppe, vous lisez la somme (mettons 29872 euros). Je vous demande si vous voulez changer pour prendre la somme contenue dans l'autre enveloppe. Qui change ? Qui garde ? Qui pense que l'espérance de gains ne changera pas si on change d'enveloppe ?

[beagle]

bah, je suis dyslexique,
je veux l'enveloppe de droite et je dis je prends la gauche par erreur,
et lorsque je dis que je change tu sais pas si je voulais dire vraiment je change, ou si je voulais dire je change pas.
Comment savoir si je prends la bonne résolution?

Bon,en fait, j'ai rien compris dans ce que change le fait de changer !

[ev85]

bah, je suis dyslexique,
je veux l'enveloppe de droite et je dis je prends la gauche par erreur,
et lorsque je dis que je change tu sais pas si je voulais dire vraiment je change, ou si je voulais dire je change pas.
Comment savoir si je prends la bonne résolution?

Bon,en fait, j'ai rien compris dans ce que change le fait de changer !

Si je lis 3 euros, il est certain que dans l'autre enveloppe, il y a 6 euros.

[beagle]

Je propose de dédoubler l'expérience:
on tire deux nombres QS A et B, les deux nombres sont dupliqués A et B dans deux autres enveloppes.

maintenant on va dans la salle numéro 1 où est pierre:
il tire une enveloppe au hasard, on lui demande s'il veut changer.

dans la salle numéro 2 où est Jean il tire aussi une enveloppe,
on lui demande s'il veut changer aussi

dans la salle numéro 3 où est Sophie on donne toujours A,
on demande si elle change

dans la salle numéro 4 où est Justine on donne toujours B,
on demande si elle change

Cela change quoi?

[Judoboy]

Si je lis 3 euros, il est certain que dans l'autre enveloppe, il y a 6 euros.

J'ai jamais dit qu'il y avait S et 2*S.


Le problème c'est qu'on a intérêt à changer si on est en-dessous de l'espérance, or là on sera toujours en-dessous de l'espérance, donc on a toujours intérêt à changer sans même lire la somme. Et on a re-intérêt à changer une fois qu'on a la deuxième enveloppe, donc on va jamais choisir...

[Doraki]

Quelle que soit la stratégie, si j'ai suffisemment de fonds, je suis prêt à jouer indéfiniment à ton jeu quelquesoit la mise. (C'est ce que dit le fait que l'espérance est infinie)

Sinon, c'est difficile de comparer des stratégies à espérance infinie.
On peut regarder s'il existe une stratégie qui bat toutes les autres dans au moins 50% du temps ?

Mon réflexe derait de changer lorsque S1 < la médiane de la loi (si l'entier S1 obtenu vérifie P(S2 > S1) > 1/2).
J'ai alors plus de chance d'augmenter ma somme que de la diminuer.
:/
J'ai alors environ 3/8 de chances de battre la stratégie qui ne change jamais, 4/8 de faire pareil, et 1/8 de faire pire. (de même contre la stratégie qui change tout le temps).

[ev85]

J'ai jamais dit qu'il y avait S et 2*S.


Le problème c'est qu'on a intérêt à changer si on est en-dessous de l'espérance, or là on sera toujours en-dessous de l'espérance, donc on a toujours intérêt à changer sans même lire la somme. Et on a re-intérêt à changer une fois qu'on a la deuxième enveloppe, donc on va jamais choisir...

Je n'ai rien compris. Il peut y avoir 1,5 euro ?

[Judoboy]

Arf, j'ai du mal m'exprimer. Vous ne risquez rien dans l'affaire, c'est comme l'énigme des enveloppes classiques sauf qu'au lieu d'avoir 2 enveloppes avec une qui contient le double de l'autre, on a 2 enveloppes qui contiennent 2 sommes aléatoires indépendantes tirées selon la même loi à espérance infinie.

Le but est de maximiser son espérance de gain, quitte à prendre de gros risques. Ca ne m'intéresse pas de savoir si j'ai une chance sur 2 de gagner plus ou pas, je veux juste maximiser mon espérance.

[Judoboy]

Quelle que soit la stratégie, si j'ai suffisemment de fonds, je suis prêt à jouer indéfiniment à ton jeu quelquesoit la mise. (C'est ce que dit le fait que l'espérance est infinie)

Sinon, c'est difficile de comparer des stratégies à espérance infinie.
On peut regarder s'il existe une stratégie qui bat toutes les autres dans au moins 50% du temps ?

Mon réflexe derait de changer lorsque S1 S1) > 1/2).
J'ai alors plus de chance d'augmenter ma somme que de la diminuer.
:/
J'ai alors environ 3/8 de chances de battre la stratégie qui ne change jamais, 4/8 de faire pareil, et 1/8 de faire pire. (de même contre la stratégie qui change tout le temps).

C'est pas parce que tu la bats plus de 50% du temps que tu gagnes plus que cette stratégie non ?

[Doraki]

ben comme l'espérance de n'importe quelle stratégie est infinie, ça n'a pas tellement de sens de gagner plus qu'une autre stratégie.

Ou sinon tu peux essayer de regarder l'espérance de A-B lorsque A et B sont deux stratégies différentes.
Des fois c'est +- l'infini et des fois ce n'est pas sommable.
Mais il n'y a pas je crois de "la meilleure stratégie" pour ce critère-là.

Pour le critère "A>=B si P(A>=B) >= 1/2", c'est pareil je sais pas si c'est une relation d'ordre ni s'il y a un élément maximal.

[Judoboy]

ben comme l'espérance de n'importe quelle stratégie est infinie, ça n'a pas tellement de sens de gagner plus qu'une autre stratégie.

C'est justement là le problème, une fois que tu as ouvert la première enveloppe et lu la somme l'espérance de la stratégie "garder la première enveloppe" est finie et égale à la somme obtenue, du coup t'as intérêt à changer.

Vu que tu vas changer quelque soit la somme autant ne même pas la regarder non ?

[Doraki]

Ben si t'essayes de formaliser un critère raisonnable quelconque pour départager ces deux stratégies, ben t'y arriveras pas.

Par exemple, pour le critère "espérance de A-B vaut-elle +l'infini ?", ben l'espérance de (stratégie "toujours changer" - stratégie "toujours garder S1") n'est pas sommable, bien que l'espérance de (stratégie "prendre S2 lorsque S1 < n" - stratégie "garder S1") est +l'infini pour toute valeur de n (dans N). On a un problème en "passant à la limite".

Pour le critère "est-ce que P(A>B) > P(B>A) ?", ben ça ne les départage pas non plus, puisque P(S1>S2) = P(S2>S1) = presque 1/2.

En l'occurence, ton critère serait "est-ce que pour tout n dans N, E(A-B sachant S1 = n) = +l'infini ?", et là c'est le cas avec la stratégie A=prendre S2 et B=garder S1. Mais bon c'est un critère bizarre qui n'est pas symétrique.