Sp engendré par transposition et p-cycle

[Ben314]

Salut,
Pour donner des "pistes" de recherches, effectivement, si tu te place dans un Sn quelconque, ce n'est pas vrai qu'une transposition quelconque et un n-cycle quelconque engendrent Sn tout entier.
Par exemple, avec n=4, la transposition (1 3) et le n-cycle (1 2 3 4) n'engendre pas S4 : vérifie le.

Sauf qu'ici, il y a une hypothèse supplémentaire (et subtile...) : on est pas dans un Sn quelconque, mais dans un Sp avec p premier : est-ce que tu voit ce que ça va impliquer concernant les p-cycles ? (et plus précisément les puissances des p-cycles)

[Ben314]

C'est quoi les puissance
du 4-cycle (1 2 3 4) ?
du 5-cycle (1 2 3 4 5) ?
du 6-cycle (1 2 3 4 5 6) ?
du 7-cycle (1 2 3 4 5 6 7) ?
du 8-cycle (1 2 3 4 5 6 7 8) ?
Tu ne constate rien ?

[Ben314]

C'est à peu prés ça, mais la condition pour "qu'on ne puisse pas décomposer en produit", c'est pas que n soit impair, mais qu'il soit premier. Par exempe, pour n=9 (le premier impair non premier) on a
(1 2 3 4 5 6 7 8 9)^3=(1 4 7)(2 5 8)(3 6 9)

Sinon, effectivement, ça servira uniquement pour la suite de l'exo.

Ensuite, si tu as déjà montré la première partie de la question, à savoir que :
P et T engendre Sp <=> gPg^-1 et gTg^-1 engendre SP
Alors la deuxième question est "bébète" modulo d'avoir bien compris un truc concernant la conjugaison (i.e. les trucs de la forme gTg^-1) dans Sn :
Mettons qu'on prenne la permutation P=(5 1 3)(2 7) de S10 et une autre permutation g de S10 non connue explicitement, comment s'écrit la permutation gPg^-1 ?
(quelle sont les images de g(5), g(1), g(3), g(2), g(7) par gTg^-1 ? et les images des autres éléments ?)
Avec cette constatation là, tu devrait montrer on ne peut plus facilement que :
- Si g est une permutation quelconque et P est un p-cycle, alors, alors gPg^-1 est lui aussi un p-cycle
- Si T=(a b) est une transposition donnée , alors il existe une permutation g (et même des tas de permutations g) telle que gTg^-1=(1,2).