Endomorphisùe adjoint/base orthonormale

[matheuxendetresse]

Bonjour,
J'ai cette question d'algèbre, si vous avez des idées:

Soit un espace vectoriel, et est un endomorphisme de .
On a montrer que est diagonalisable de valeurs propres positives ou nulles. et que et .

On veut montrer qu'il existe une base orthonormale de et un entier positif , t.q est une base orthogonale de et une base orthonormée du noyau de

Merci.

[Ben314]

Salut,
Je suppose que tu as mangé en route une partie (importante...) de l'énoncé et que ton espace vectoriel est supposé de dimension finie.
Et je comprend pas ce que signifie ton que tu compose avec : je suppose que c'est l'application duale de sauf qu'elle va de (dual de ) dans lui même donc on ne peut pas la composer avec

[matheuxendetresse]

Salut,
Je suppose que tu as mangé en route une partie (importante...) de l'énoncé et que ton espace vectoriel est supposé de dimension finie.

Désolé, je pensais avoir écrit "espace vectoriel euclidien".
Par je veux dire l'adjoint de
Merci

[Ben314]

Je sais pas ce que tu as vu concernant les espaces euclidiens, mais ton application elle est autoadjointe donc diagonalisable (réelle) dans une base orthonormée (c'est ce qu'on appelle parfois le "théorème spectral" : toute matrice symétrique réelle est diagonalisable dans une b.o.n.)
Et si tu n'a pas vu ce résultat, c'est l'occasion de le démontrer : ce n'est pas très compliqué par exemple en raisonnant par récurrence sur la dimension de l'espace.

[matheuxendetresse]

Je sais pas ce que tu as vu concernant les espaces euclidiens, mais ton application elle est autoadjointe donc diagonalisable (réelle) dans une base orthonormée (c'est ce qu'on appelle parfois le "théorème spectral" : toute matrice symétrique réelle est diagonalisable dans une b.o.n.)

Oui, je suis d'accord, ça j'ai pu le montrer en appliquant sur , on retombe sur . et j'ai vu le théorème sur les matrices/endomorphisme symétrique réelles qui sont toujours diagonalisables

[Ben314]

Si tu connais le théorème, ça devient évident : tu prend une b.o.n. de vecteurs propres de en mettant à la fin ceux du noyau de . Comme , "la fin" de ta base, c'est aussi une b.o.n. du noyau de . Et si on prend deux vecteurs "du début" de la base, on a ce qui prouve que, si les vecteurs et sont orthogonaux et, en prenant , ça prouva aussi que vu que . Donc ces vecteurs forment une famille libre (et orthogonale) de et vu le nombre qu'ils sont, c'est forcément une base de .

[matheuxendetresse]

Si tu connais le théorème, ça devient évident : tu prend une b.o.n. de vecteurs propres de en mettant à la fin ceux du noyau de . Comme , "la fin" de ta base, c'est aussi une b.o.n. du noyau de . Et si on prend deux vecteurs "du début" de la base, on a ce qui prouve que, si les vecteurs et sont orthogonaux et, en prenant , ça prouva aussi que vu que . Donc ces vecteurs forment une famille libre (et orthogonale) de et vu le nombre qu'ils sont, c'est forcément une base de .

Merci beaucoup, j'ai pensé à prendre une base des vecteurs propres.