Endomorphismes

[buuuu]

salut, j'ai un exercice ou j'ai bloqué a la moitié,

voila E est un C espace vectoriel de dimension 3, et f un endomorphisme qui verifie f²=f^3 , et dim ker(f - id)=1
montrer qu'il existe une base de E ou la matrice de f est de la forme
1 0 1
0 0 a
0 0 0 avec a=0 ou a=1

bon j'ai commencé comme ca: sachant que f= 0 et f= Id verifie la relation

et soit x appartient a E, donc x= x - f(x) + f(x)

donc on peur arriver facilement a E= ker(f- Id) somme directe ker(f)
et dim ker(f)= 2

voila comme f(x)=x, est de dimension 1, donc soit W1, tel que f(W1)=W1 (premiere colonne de matrice verifiée!!!)

mais apres je bloque, je vois pas comment avancer!! :cry:

[Purrace]

Utilise le fait que x²-x^3 est un polynome annulateur

[buuuu]

salut, je ne comprend pas en quoi ele polynome annulateur, peut m'aider!!! :triste:

[Purrace]

Tu sait que puisque t'a un polynome annulateur alors ses racines sont des valeurs propres possibles pour ton endo.Tu sait puisque E est un C ev , alrs Mat(f) est trigonalisable. Si 0 est la seule valeur propre alors ta matrice est semblable a une matrice nilpotente ce qui est interdit vu les hypothese.Donc 1 et 0 sont valeurs propres .Tu utilise ton hypothese de dimension.tu sait que sur la diagonale tu aura 1 0 0.Maintenant il te faut trouver des vecteurs propres tel que ta matrice soit semblable a la matrice recherché.

Voila tu peut continuer;

[buuuu]

oui je vois, f(W1)=W1, c'est bon pour la premiere colonne
f(W2)=0 (forcément puisque 0 est une valeur propre) c'est bon pour la deuxieme colonne

on complete par un vecteur W3, tel que W1, W2, W3, soit une base de E

je vois toujours pas comment calculer f(W3)!!!!!!!!!!!!! :triste: