Endomorphismes et suites

[jordvnsd]

Bonjour à tous

Dans le cadre d'un devoir je suis amené à étudier un endomorphisme f d'un espace vectoriel E.
soit f un endo de E (ev normé) et (fn) une suite d'éléments de L(E) ( ensemble des endo de E)

j'ai réussi à montrer que les trois énoncés suivant sont équivalents:
a) la suite (fn) est convergente dans L(E) b) (fn(x)) est convergente dans E
c) Etant donné une base (e1....ek) de E, les k suites (fn(ei)) i £ [1,k] sont convergentes dans E

de manière analogue je dois trouver deux énoncés équivalents à l'énoncé suivant :
la suite (fn) est bornée dans E



je suis bloqué. une personne pourrais m'aider s'il vous plaît
Merci

[GaBuZoMeu]

Tu as oublié de quantifier universellement x dans b).

[jordvnsd]

ajout: pour tout vecteur x de E


merci GaBuZoMeu

[GaBuZoMeu]

C'est plutôt "la suite (fn) est bornée dans L(E)" et pas dans E.
De plus ton espace E est supposé être de dimension finie, n'est-ce pas ?

As-tu exploré ce qui se passe quand on remplace "convergente" par "bornée" dans a), b) et c) ?

[jordvnsd]

j'ai finalement réussit à répondre à la question en démontrant les équivalences en remplacant convergente par bornée
merci pour la proposition j'ai moi même pensé que c'était trop évident pour être la réponse attendue
j'ai une dernière question ( si bien sûr vous êtes disponible)

[jordvnsd]

soit Un = ( Id + u + u^2 + ....+u^n)*1/(n+1) un endomorphisme et id l'endo identité de E (espace vectoriel normé)

on suppose que u^n est bornée et 1 n'est pas valeur propre de u:
Montrer que la suite (Un) converge

je suis bloqué

[Ben314]

Salut,
Si tu calcule (u-Id)oUn , ça donne quoi ?
Et l'endomorphisme u-Id est-il inversible ?
Bilan . . .