Endomorphismes nilpotent et sous espace vectoriel cyclique

[Ben314]

Oui, mais c'est pas du tout la même famille que celle dont je parle dans le post. précédent qui est une famille d'élément de alors que c'est une famille d'éléments de . Les deux familles ne sont donc pas du tout "de même nature", l'une est constituée de vecteurs et l'autre d'endomorphismes.

Et effectivement, à la question suivante, une fois que tu aura montré que est un isomorphisme, du fait que est une base de tu pourra en déduire que est une base de .

[Emmanuel]

D'accord... Mais j'ai vraiment besoin d'une petite explication ; Pourquoi Ha est un isomorphisme du fait que la famille { a,......... f(n-1)(à) } est une base de E .

[Ben314]

D'accord... Mais j'ai vraiment besoin d'une petite explication ; Pourquoi Ha est un isomorphisme du fait que la famille { a,......... f(n-1)(à) } est une base de E .

Faudrait... apprendre à lire...

Et effectivement, à la question suivante, une fois que tu aura montré que est un isomorphisme, <- VIRGULE du fait que est une base de tu pourra en déduire que est une base de .

Je te l'écrit dans l'autre sens si tu préfère :
... à la question suivante, du fait (déjà démontré) que est un isomorphisme et du fait (aussi déjà démontré) que est une base de tu pourra en déduira que est une base de .

[Emmanuel]

Lol lol lol Merci pour la leçon... Comment je peux m'y prendre pour la surjection et l'injection.

[Ben314]

As tu montré que est famille libre de ?
Si oui, ça te donne quasi directement la surjectivité de et ça te sert aussi pour l'injectivité.

[Emmanuel]

J'essaie....
donc quelque soit n'appartient pas à car .soit .
Supposons que .
Composons cette relation par
On a . On a .
car est nilpotent d'indice , donc . On a donc donc .
De même si on compose par , on aura successivement . D'où la famille est libre.



C'est correct ?

[Ben314]

Salut,
C'est parfaitement O.K. concernant l'idée, mais une fois de plus, la rédaction ne va pas :

Composons cette relation par
On a

qui n'a pas de sens : tu ne risque pas de composer quoi que ce soit par vu que c'est un vecteur et tout ce qui est en rouge n'a aucun sens.

Donc ce que tu fait, c'est plutôt de "composer par ", mais même là, il me semble que l'expression "composer" est mal choisie : c'est deux fonctions qu'on compose, alors que là, tout ce que tu fait, c'est d'appliquer la fonction aux deux vecteurs de l'égalité .
En fait, la question (de vocabulaire) c'est de savoir si, partant par exemple de , lorsque l'on en déduit que , est ce que l'on a composé par la fonction racine carrée ou pas.
A mon sens, non : on a appliqué la fonction racine carrée aux deux réels de l'égalité.

Bref, ce que tu doit écrire, c'est que, partant de ,
on en déduit que
Et tu continue en utilisant le fait que est une application linéaire pour en déduire que

C'est à dire

[Emmanuel]

D'accord merci... Et comment à partir de ceci je peux affirmer que est surjective.

[Ben314]

Pour la surjectivité, il faut montrer que tout vecteur peut s'écrire sous la forme pour une certaine fonction .
Sauf qu'avec ce qu'on vient de montrer, on sait que tout peut s'écrire (de façon unique) sous la forme ce qui signifie qu'il suffit de prendre

[Emmanuel]

donc pour tout x de E car est une base de .

[Ben314]

Je comprend pas ce que tu bricole.
Là, pour la surjectivité, ce qui est donné (=connu), c'est un vecteur et ce que tu cherche, c'est une fonction (donc en particulier dans ) telle que , c'est à dire en fait telle que .

Et évidement, ça signifie que ta réponse doit consister, à un moment ou un autre, à écrire "je prend " et c'est surement pas une fonction "au pif" de qui va donner , sans parler qu'une fonction "au pif" de , je vois pas pourquoi elle serait dans .

Donc, bis et répéta, vu que , tu vois pas qui il suffit de prendre pour pour s'assurer d'avoir ?

[Emmanuel]

Je t'avoue que je ne voisvraiment pas comment..... s'écrit donc comment ? ()
Il suffit de prendre pour quel ?

[Pseuda]

Bonsoir,

[Emmanuel]

Bonsoir.. Je vois mieux maintenant en fait est surjective si il existe un pour tout donc et comme car est une base de .
Avant de continuer ...pourquoi prendre cette base composée de .

[Pseuda]

Bonsoir.. Je vois mieux maintenant en fait est surjective si il existe un pour tout donc et comme car est une base de .
Avant de continuer ...pourquoi prendre cette base composée de .

C'est : Ha est surjective ssi pour tout x dans E, il existe g dans Cf telle que Ha(g)=x.
Autrement dit, il faut trouver g tel que Ha(g)=g(a)=x, x étant donné dans E avec ses coordonnées dans la base (a, f(a), ... f^(n-1) (a)). (g à trouver est évident au vu de mon post plus haut)

Il faudra montrer ensuite que le g trouvé appartient bien à Cf (pour que Ha soit surjective), et qu'il est unique étant donné x dans E (pour montrer l'injectivité de Ha).

Pour montrer l'injectivité de Ha, tu peux aussi montrer que Ker (Ha)=0, autrement dit montrer que si g vérifie Ha(g)=g(a)=0, alors g=0 (en utilisant les coordonnées).

[Emmanuel]

D'accord merci énormément pour vos éclaircissements..... À bientôt (au prochain problème)

[Ben314]

est surjective si il existe un pour tout on a ...

A mon avis, une phrase pareille, il faut ABSOLUMENT que tu la relise autant de fois que nécessaire pour en dégager LE SENS, histoire que tu te rende compte que . . .

[Emmanuel]

Bonsoir ben341.... Que.....?

[Ben314]

... si il existe un pour tout on a ...

Ben faudrait peut être arriver à comprendre que ce que la phrase ci dessus dit, c'est que la fonction est constante.

Le fait que soit surjective, ça signifie que, pour tout x de E, il existe un g de C(f) tel que et que cette dernière phrase (juste) n'a absolument aucun rapport avec celle que tu as écrite.
C'est même quasiment le contraire complet l'une de l'autre vu que la fonction "la moins surjective possible" qu'on puisse imaginer, c'est justement une fonction constante.

[Emmanuel]

D'accord merci