Endomorphismes nilpotent et sous espace vectoriel cyclique

[Emmanuel]

Soit E un R-espace-vectoriel de dimension finie n>=1 et f un Endomorphisme nilpotent d'indice n. On pose
C(f)={ g € L(E) / g•f=f•g }
1. Montrer que C(f) est un sous espace vectoriel de L(E).
2. Soit a € E tel que f^(n-1)(a) différent de 0. Soit (H)a une application définie par :
(H)a : C(f) -----> E
g -------> (H)a(g)=g(a)
Montrer que (H)a est un isomorphisme de R-espace-vectoriel.
3. Montrer que C(f)=vect (Ide, f, ........ , f^(n-1) ).

[Emmanuel]

Soit E un R-espace-vectoriel de dimension finie n>=1 et f un Endomorphisme nilpotent d'indice n. On pose
C(f)={ g € L(E) / g•f=f•g }
1. Montrer que C(f) est un sous espace vectoriel de L(E).
2. Soit a € E tel que f^(n-1)(a) différent de 0. Soit (H)a une application définie par :
(H)a : C(f) -----> E
g -------> (H)a(g)=g(a)
Montrer que (H)a est un isomorphisme de R-espace-vectoriel.
3. Montrer que C(f)=vect (Ide, f, ........ , f^(n-1) ).

[Ben314]

Salut,
Tu as fait quoi ?
Tu bloque où ?

[Emmanuel]

Salut .. Je bloque sur les deux premières questions
Sur la première j'ai commencé par montrer que l'application nulle appartient à C(f) puis je suis bloqué.

[Ben314]

C'est quoi la définition d'un s.e.v. ?
( il n'y a aucune difficulté particulière à montrer que cette définition s'applique à la partie C(f) de l'e.v. End(E) )

[Emmanuel]

On dit que F est un sous espace vectoriel de E ssi F est un espace vectoriel et F est inclu dans E.

[Emmanuel]

en plus simple il faut montrer que f est non vide(i.e 0E € F de préférence) et que toutes combinaisons linéaires d'éléments de f € à f

[Ben314]

Oui, et ici on peut pas dire que ça pose bien de difficultés : lance toi. . .

[Emmanuel]

1. *Je montre que l'application nulle € C(f)
Soit t: E---->E
x------>0E l'application nulle
on a g•t(x) - t•g(x)= g(t(x)) - t(g(x))= 0 i.e g•t(x) = t•g(x) donc t € C(f).
C'est juste la première étape( pour montrer que C(f) est non vide).

[Ben314]

Ca marche, modulo la rédaction pas terrible :

Soit t: E---->E
x------>0E l'application nulle
on a, pour tout x de E : g•t(x) - t•g(x)= g(t(x)) - t(g(x))= 0 i.e g•t(x) = t•g(x) pour tout x de E donc g•t = t•g et t € C(f).

C'est une habitude à prendre absolument : avant d'utiliser un symbole (ici la lettre x), préciser à quel ensemble il appartient et son "statut" : soit quelconque (="pour tout x....") ou particulier(="si on prend x=... alors" ou bien "il existe au moins un x tel que...", etc...)

[Emmanuel]

D'accord merci... C'est correct ?

[Emmanuel]

Je suis partagé entre la première et ceci
pour tout x € E, t•f(x) - f•t(x)= t(f(x)) - f(t(x)) or f est un endo nilpotent i.e f est d'indice de nilpotence 1 ssi f est l'endo nulle i.e f(x)=t(x) pour tout x de E. On a alors t•f(x) - f•t(x) = 0 pour tout x de E . t•f(x) = f•t(x) d'où t € C(f)

[Ben314]

Je comprend pas ce que tu cherche à montrer là.
Ton endomorphisme t, c'est quoi ?
Si c'est toujours l'endomorphisme nul, alors je comprend rien à ce que tu fabrique :
Vu que t(nimporte_quoi)=0 alors, pour tout x de E, on a t(f(x))=0 et f(t(x))=f(0)=0 (car f est une application linéaire) donc fot(x)=tof(x) ce qui signifie que fot=tof et donc que t est dans C(f).

Et tu t'en fout que f soit nilpotent ici (et d'ailleurs, tu t'en fout pour la question (1) : f serait pas nilpotent ben C(f) serait quand même un s.e.v. de End(E) )

Enfin, bref, faudrait avancer un peu et montrer que :
- Si g est dans C(f) et lambda dans R alors lambda.g est dans C(f).
- Si g1 et g2 sont dans C(f) alors g1+g2 est dans C(f).

[Emmanuel]

D'accord je me lance

[Emmanuel]

*Soit g € C(f) et lmd €R on a :
f•lmdg = f(lmdg) = lmd f(g) car f est une app linéaire et de plus f(g)=g(f) car g appartient à C(f) , f•lmdg = lmdg(f)= lmdg•f. Donc lmdg € C(f).
*soit g1 et g2 apprtnt à C(f) on a :
(g1+g2)•f=g1•f + g2•f = f•g1 + f•g2 = f•(g1 + g2) d'où g1 + g2 apprtnt à C(f).

[Ben314]

C'est bon, modulo quelques remarques :

*Soit g € C(f) et lmd €R on a :
f•lmdg = f(lmdg) = lmd f(g) <= Si tu veut avoir le droit d'écrire du f(g) avec des parenthèse, il faut forcément que tu mette un x : f(g(x)). Vu que f c'est une application dont l'ensemble de départ c'est E, f(?) n'a du sens que si ? est dans E.
car f est une app linéaire et de plus f(g)=g(f) car g appartient à C(f) , f•lmdg = lmdg(f)= lmdg•f. Donc lmdg € C(f).
*soit g1 et g2 apprtnt à C(f) on a :
(g1+g2)•f=g1•f + g2•f = f•g1 + f•g2 = f•(g1 + g2) d'où g1 + g2 apprtnt à C(f).
A mon avis, c'est pas con de signaler (de nouveau) que f•g1 + f•g2 = f•(g1 + g2) car f est linéaire (alors que de l'autre coté (g1+g2)•f=g1•f + g2•f n'a rein à voir avec la linéarité de qui que ce soit, c'est juste la définition de la somme de deux fonctions)

Si on veut absolument tout super détailler, on peut écrire :

Soit et . Pour tout on a
par définition de la loi de composition .
-------------- par définition de la fonction .
-------------- car est linéaire.
-------------- car .
-------------- par définition de la fonction .
-------------- par définition de la loi de composition .
Ceci étant vrai pour tout , cela signifie que donc on a bien

Soit . Pour tout on a
par définition de la loi de composition .
-------------- par définition de la fonction .
-------------- car est linéaire.
-------------- car .
-------------- par définition de la fonction .
-------------- par définition de la loi de composition .
Ceci étant vrai pour tout , cela signifie que donc on a bien

Mais comme le but du jeu, c'est quand même pas de "raconter sa vie" à chaque mini preuve qu'on fait, je pense pas qu'il soit utile d'en mettre autant, mais il faut quand même que tout ça te "passe par la tête" : les définitions et les propriétés qui font "que ça marche".

[Emmanuel]

D'accord.... Pour la question suivante je pense faire ceci
Pour montrer que (H)a est un isomorphisme je vais montrer que c'est un morphisme en premier temps et ensuite montrer qu'elle est injective et surjective i.e bijective.
La caractéristique d'un morphisme est que l'image de l'élément neutre de l'ensemble de départ par l'application est l'élément neutre de l'ensemble d'arrv et l'image de l'inverse d'un élément par l'appli est l'inverse de l'image de l'élément i.e ( f(x^-1) =( f(x) )^-1 ). Donc dans mon cas je montre que l'img de l'élément neutre de C(f) par Ha est 0e et que l'image de l'inverse d'un élément de C(f) par (H)a est l'inverse de l'image de l'élément par (H)a.
Mais maintenant mon problème c'est de savoir quel est l'élément neutre de C(f) ? Est-ce l'application identique ?

[Emmanuel]

Et est-ce suffisant de montrer que l'image de l'élément neutre de l'ensemble de départ par l'application est l'élément neutre de l'ensemble d'arrv pour affirmer que c'est un morphisme

[Ben314]

Non, tu te mélange les pinceaux entre les différentes notion de morphisme.
Là, ce dont tu parle, c'est de morphisme de groupes (multiplicatifs) alors qu'ici, ce dont il est question, c'est de morphismes d'espaces vectoriels, c'est à dire en fait d'applications linéaires.
Bref, ce que tu doit montrer, c'est que l'application est linéaire (ce qui, de nouveau, est passablement évident)

Par contre, que ce soit pour montrer qu'elle est injective ou surjective c'est bien moins évident et je pense que tu es plus ou moins obligé de commencer par montre que la famille est une famille libre donc une base de .

[Emmanuel]

D'accord... Ce ne serait pas la troisième question parce qu'il est demandé de montrer à question là que C(f) est le sous espace vectoriel engendré par la famille ( ide, f, ............ , f^(n-1) ) et là je comptais montrer que c'est une famille libre.