Endomorphismes et commutativité

[bentaarito]

Bonjour,

Soient A et B deux endomorphismes d'un ev E
Mq si A+B=AoB alors A et B commutent

[Nightmare]

Salut,

dans ce genre d'exo, ça marche souvent d'essayer de factoriser.

En l'occurrence ici : x+y-xy=(1-x)(y-1)+1

:happy3:

[bentaarito]

Mais l'inverse à gauche peut différer de celui de à droite non? ( on est en dim infinie!)

[bentaarito]

up :dodo: :dodo:

[Nightmare]

De l'inverse de qui parles-tu?

La factorisation ramène l'égalité à (Id-A)(B+Id)=Id

De là, on en déduit que Id-A est inversible d'inverse B+Id.

Autrement dit, où X est une matrice inversible, et

De cette écriture, on déduit aisément que A et B commutent. Mais on fait bien plus que ça puisqu'on a même caractérisé les matrices A et B qui vérifient ton égalité.

[Doraki]

Mais l'inverse à gauche peut différer de celui de à droite non? ( on est en dim infinie!)

ben en dimension infinie ton truc est faux :

Prend E = R^N,
A(x)(n) = x(n)+x(n+1)
B(x)(n) = x(n-1)+x(n) pour n>0, x(0) pour n=0

Alors
(A+B)(x)(n) = x(n-1)+2x(n)+x(n+1) pour n>0, 2x(0)+x(1) pour n=0
(AB)(x)(n) = x(n-1)+2x(n)+x(n+1) pour n>0, 2x(0)+x(1) pour n=0
(BA)(x)(n) = x(n-1)+2x(n)+x(n+1) pour n>0, x(0)+x(1) pour n=0

Donc A+B = AB mais A et B ne commutent pas.

[bentaarito]

donc ben voilà je disais que le fait d'etre inversible à gauche ne suffisait pas pour dire que c'est inversible
l'hypothèse "etre en dimension finie" était primordial