Endomorphisme de trace nulle

par **kazeriahm** » 27 Mai 2007, 20:00

bonsoir salut

j'ai un petit exo à la mord moi le noeud qui m'embete :

dans un euclidien E, f est un endomorphisme de trace nulle.

Montrer qu'il existe un vecteur x non nul de E tel que =0.

J'ai une solution en utilisant la densité des matrices diagonalisables dans Mn(C) mais je pense qu'il y a plus court et limpide.

Si quelqu'un peut m'aider svp ?!

par **kazeriahm** » 27 Mai 2007, 20:31

............ d'accord merci :marteau: :marteau: :marteau: :marteau:

par **yos** » 28 Mai 2007, 07:48

Bonjour.
La matrice de f dans une BO a pour diagonale les

. Si aucun d'eux n'est nul, il y a au moins un i tel que

.
On peut alors conclure en utilisant la continuité de l'application

sur le connexe E.
Si tu veux pas parler de connexité, tu peux travailler avec

et considèrer l'application

par **kazeriahm** » 28 Mai 2007, 09:05

ok merci ta méthode est plus élégante yos

par **yos** » 28 Mai 2007, 09:47

Peut-on faire cet exercice sans utiliser un résultat d'analyse?

par **kazeriahm** » 28 Mai 2007, 12:03

bah a la base c un exo d'algebre quand meme, classé dans la section algebre...

en prépa les notions de connexité ou de convexité sont vues dans le chapitre espace vectoriel normés qui est un chapitre d'analyse...

la méthode de Rain doit mener a kkchose mais le problème c'est la non linéarité de x->f(x)|x, qui est une forme quadratique et ca doit mener à des calculs barbares...

Endomorphisme de trace nulle

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