Endomorphisme ..

par **sandrine_guillerme** » 17 Avr 2007, 00:16

Re bonsoir
Allez C'est calme ici , mais c'est normal, à cette heure ci .. :hein:

je me pose la question suivante :
f endo de R^2
de déterminant et trace nulle que ce qu'on peut dire de f ?

bonne réfléxion.

par **Joker62** » 17 Avr 2007, 00:27

Alors moi j'suis là :

Soit

On a :

tel que

On se propose de regarde

En remplaçant tout comme y faut on trouve :

On a donc déjà que f est un endomorphisme nilpotent

par **sandrine_guillerme** » 17 Avr 2007, 00:33

bien vu joker! tu as bien visé là, c'est du aux russes là ? :lol2:

Plus sérieusement:
sans passer par des matrices .. on peut voir la nilptence aussi à ton avis?

par **Joker62** » 17 Avr 2007, 00:38

Ben en fait j'ai eu le feeling là j'avoue lol

En 2 fois plus court allez sans les matrices :

On prend le polynôme caractéristique de f, qui est de degré 2 :

On connaît les deux derniers coefficients du polynômes :

avec les hypothèses données plus haut on a :

Et un ptit coup de Cayley-Hamilton et c'est fini

CQFD

par **sandrine_guillerme** » 17 Avr 2007, 00:43

BIen entendu, Merci .

en fait il suffisait d'avoir l'idée de la nilpotence,

mais là tu m'as eu boy ! :we:

allez voyons voir si on pourrais ps généraliser ? moi je pense que non ...

par **Joker62** » 17 Avr 2007, 00:47

Tu veux dire généraliser à R^n ???
ça serait quand même beaucoup plus compliqué étant donné qu'on ne connait que 3 coefficient du polynôme caractéristique.
Le premier qui vaut 1
L'avant dernier qui vaut -Tr(u)
Et le dernier qui vaut det(u)

Donc bon ça risque de pas marcher la généralisation.

En tout cas l'idée de la nilpotence, ça vient surtout du fait qu'on demande les caractéristiques de f et mise à part calculer les premières puissances, je ne voyais pas trop quoi faire :)

En tout cas si t'as des exos, où des trucs cool, tu peux poster, j'arrive pas à dormir, me suis réveiller y'a 1h30 lol :(

par **sandrine_guillerme** » 17 Avr 2007, 01:03

ok bien .. :)
moi aussi j'ai du mal à m'en dormir

j'en ai un exo sympa aussi .. attends je le cherche ..

par **serge75** » 17 Avr 2007, 01:10

Joker et sand : pas la peine de chercher un autre exo : donner un contre exemple avec n=3, histoire de boucler cet exo !
Vous donnerai une rép demain si vous avez pas trouvé. lol

par **sandrine_guillerme** » 17 Avr 2007, 01:10

je l'ai pas trouvé mais voici un biensympa aussi ..
SOit E =R^3. soit u un endomorphisme annulé par P(X) =X^3+X
posons v= (X^2+1)(u)

1/Exprimer v(x) en fonction de u(x) et x.montrer que uov=0
2/ Soit x un vecteur de E. On pose y= -u^2(x) et z = x-y. montrer que y élement de ker (v) et z élèment de ker (u) . et en déduire que E=ker (u) + ker(v).
3/ Montrer que la somme E = Ker(u)+ker (v) est directe .

bonne réfléxion ..

je reviens je m'en vais faire ma séance de sport (je l'ai carrèment oublié aujourd'hui et je te laisse réfléchir à l'exo, j'en ai d'autre bien sympa aussi)

par **sandrine_guillerme** » 17 Avr 2007, 01:11

serge75 a écrit:Joker et sand : pas la peine de chercher un autre exo : donner un contre exemple avec n=3, histoire de boucler cet exo !
Vous donnerai une rép demain si vous avez pas trouvé. lol

désolée j'avais pas vu ton message,
j'avais pas actualisé

par **serge75** » 17 Avr 2007, 01:14

tu es pardonnée !

par **serge75** » 17 Avr 2007, 01:17

sandrine_guillerme a écrit:je l'ai pas trouvé mais voici un biensympa aussi ..
SOit E =R^3. soit u un endomorphisme annulé par P(X) =X^3+X
posons v= (X^2+1)(u)

1/Exprimer v(x) en fonction de u(x) et x.montrer que uov=0
2/ Soit x un vecteur de E. On pose y= -u^2(x) et z = x-y. montrer que y élement de ker (v) et z élèment de ker (u) . et en déduire que E=ker (u) + ker(v).
3/ Montrer que la somme E = Ker(u)+ker (v) est directe .

bonne réfléxion ..

je reviens je m'en vais faire ma séance de sport (je l'ai carrèment oublié aujourd'hui et je te laisse réfléchir à l'exo, j'en ai d'autre bien sympa aussi)

Si on suppose de plus que u et u²+1 ne sont pas inversibles, montrer qu'il existe une base dans laquelle la matrice de u est
0 0 0
0 0 1
0 -1 0
Donner un contre exemple si K=C.
hihihi

par **sandrine_guillerme** » 17 Avr 2007, 01:38

de retour lol

je réfléchis en prennt une douche :we:

P.S : je raconte trop ma vie, (je sais je ne suis pas discrète comme fille :p )

par **serge75** » 17 Avr 2007, 01:41

Ca va c'est pas trop honteux comme concept ça, de réfléchir en prenant sa douche !

par **Joker62** » 17 Avr 2007, 02:02

et de plus

Soit

On a :

en considérant évidemment que u n'est pas l'endormorphisme trivialement nul.

A partir de là

Soit

, on pose

et

Vérifions que z est dans le noyaux de u

Pour y je suis pas trop sûr...

Et là j'arrive pas à conclure lol

On sent qu'on est pas loin de v mais je vois pas trop

Donc pour la fin de la 2)
Soit

on a :

avec

L'autre inclusion est triviale.

Pour la 3) je bloque :^)

par **sandrine_guillerme** » 17 Avr 2007, 02:03

c'est pas trop honteux mais je n'ai pas eu l'inspiration .. je me rappeleais même pas de l'énoncé :(

par **sandrine_guillerme** » 17 Avr 2007, 02:07

bien joué Joker :)

pour la 3
on est en dim finie !

par **Joker62** » 17 Avr 2007, 02:07

lol en tout cas j'te remercie :)
J'ai sommeil maintenant :p

@demain tout le monde ;)

Edit : Pour la 3), y'a deux façons, soit en prenant un x dans l'intersection et montrer qu'il est nul, j'ai pas vu d'absurdité :^), ou bien avec les dimensions oui, mais là faut trouver les dimensions des noyaux de u et de v :D

par **sandrine_guillerme** » 17 Avr 2007, 02:10

tu as raison , je me sens détendu là aussi
je te souhaite une bonne nuit et à demain ..

par **Joker62** » 17 Avr 2007, 12:30

Le contre-exemple demandé hier par Serge

Soit

Alors en posant

qui est une matrice de permutation circulaire

D'où

Ici pour n = 3 on a,

et

Ainsi :

On est loin de la nilpotence

Endomorphisme ..

endomorphisme ..

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