Je travaille sur l'exercice suivant:
Soit f l'application telle que pour tout polynôme P appartenant à R[X] , f(P)(X)=(2X + 1)P - (X² - 1)P".
(a) Montrer que f est un endomorphisme de R[X].
(b) Pour quelles valeurs de n appartenant à N, la restriction de f à
(c) Ecrire la matrice dans la base canonique de
(d) Montrer que g est diagonalisable et la diagonaliser.
Je ne sais pas si je comprends bien l'exercice on travaille dans un R[X] espace (de dimension infinie), donc je suis un peu perdu
(a) J'ai tout d'abord montré que f est linéaire. Mais après il faut montrer que f est à valeurs dans R[X], vu qu'on est en dimension infinie, je ne sais pas trop comment faire, si je dois calculer f(X^k) puis montrer que f(X^k) appartient à R[X] et que l'image de la base canonique de R[X] est dans R[X] ?
(b) Je pense que c'est pour tout k appartenant à {0,....,n} puisqu'on est dans Rn[X]
(c) Je pense qu'il suffit de calculer f(1), f(X) et f(X²) afin de trouver la matrice.
(d) Il suffit de montrer que la matrice en question est diagonalisable
