Endomorphisme

[barbu23]

Bonjour à tous, :happy3:

Soit un - espace vectoriel de dimension finie.
Soit vérifiant : .

- Montrer que : .
- Montrer que : et que

Merci d'avance. :happy3:

[barbu23]

De l'aide svp. :happy3:

[kazeriahm]

C'est pas trop qu'est-ce que tu as fait ?

[barbu23]

Salut " kazeriahm " : :happy3:

Voici ce que je pense :
vérifie .
Donc est le polynôme caractéristique de ( Cayley Hamilton ), c'est aussi un polynôme minimal pour .
Donx, d'après le théorème des noyaux :
Mais, après, je ne sais pas quoi faire. :happy3:

[barbu23]

Pour la première question, est ce qu'on applique le théorème des dimensions ? pour cela il faut montrer que ?

[barbu23]

Pour la première question, est ce qu'on applique le théorème des dimensions ? pour cela il faut montrer que ?

[kazeriahm]

A ton avis ?
Prend des initiatives

[barbu23]

A ton avis ?
Prend des initiatives

Soit
Alors : et .
Par conséquent :
i.e :
i.e :
i.e :
i.e :
i.e :
i.e :
i.e :
i.e :

Qu'est ce que je fais après ?.
Est ce qu'il y'a d'autres hypothèses à vérifier pour appliquer le théorème des dimensions ?
Il faut montrer que ?
Merci d'avance.

[leon1789]

pourquoi f(x) = x ? parce que x est dans ker(f) ??

[leon1789]

théorème du rang appliqué à .... ?

[barbu23]

Parce que , donc , c'est à dire .

[kazeriahm]

Je sais pas ce que tu appelles théorème des dimensions, moi je connais le théorème du rang

[barbu23]

théorème du rang appliqué à .... ?

à ?

[barbu23]

Je sais pas ce que tu appelles théorème des dimensions, moi je connais le théorème du rang

Oui, tu as raison. Et pour la deuxième question ? :happy3:

[leon1789]

oui :lol3:

[leon1789]

à ?

exactement :lol3:

[barbu23]

Voiçi ce que je pense pour la deuxième question :
vérifie .
Donc est le polynôme caractéristique de ( Cayley Hamilton ), c'est aussi un polynôme minimal pour .
Donc, d'après le théorème des noyaux :
Mais, après, je ne sais pas quoi faire.
Dans la première question, on a vérifié :
Qu'est ce qu'il faut faire pour montrer que ? Il suffit de montrer que ces deux espaces ont même dimension ?

[leon1789]

Voiçi ce que je pense pour la deuxième question :
vérifie .
Donc est le polynôme caractéristique de

non pas forcément : un polynôme de degré 3 qui s'annule en f n'est pas forcément le polynôme caractéristique.
Quelle est la dimension de E ? est-ce 3 ?

[leon1789]

Qu'est ce qu'il faut faire pour montrer que ?

Montre que l'un est inclus dans l'autre, et réciproquement.

[barbu23]

Quelle est la dimension de E ? est-ce 3 ?

Je ne sais pas. Comment le savoir ?