Endomorphisme (simple)

[sport_1989]

Bonsoir j'ai un petit problème pour résoudre une question pourriez vous m'aider svp !!?

Soit f un endomorphisme de E tel que f^2 = Id
On admet que Spec f = (-i, +i)

--> Montrer que pour tout vecteur x non nul de E , x et f(x) sont linéairement indépendants.

Je bloque totalement.. :mur: En effet il existe x non nul de E tq f(x) = ix et f(x) = -ix (comme i et -i sont valeurs propres de f). Et là f(x) et x sont liés ... A moins que "lié" veuille dire "linéairement indépendant" ???

Par avance merci

[Doraki]

Ton espace vectoriel il est réel ou complexe ?
T'es sur que c'est pas plutot f² = - Id ?

[sport_1989]

Arf oui tu as raison erreur d'énoncé je m'étais pourtant relu .. :doh:
C'est bien f^2 - Id
En fait linéairement indépendant signifie montrer que (x,f(x)) est libre c'est bien cela ?

[Antho07]

L'espace vectoriel est-il complexe ou réel?

et oui

x et f(x) lineairement indépendant cela veut dire

(x,f(x)) libre

[sport_1989]

Cela n'est pas spécifié néanmoins je pense qu'implicitement il s'agit de Mn(R) et je pense donc avoir compris dites moi si je me trompe :

Comme les valeurs propres de f sont complexes, il n'existe pas de b dans R tel que f(x) = bx ie f(x) - bx = 0
Donc f(x) - bx = 0 signifie forcément que b = 0 donc forcément que (x,f(x)) libre (CQFD)

Alors ? (merci d'avance)