Endomorphisme orthogonal

par **ludo56** » 02 Nov 2009, 16:28

Bonjour,
Soit E un espace euclidien, a un endom. de E et h un endom. symétrique de E.

Dans une démonstration, on a montré :
a* a = h²
ker a = ker h
dim [(Im a)orthogonal] = dim (ker h)

De là, ils disent :

un isomorphisme orthogonal de (ker h) sur (Im a)orthogonal.

Je comprends qu'il existe un isomorphisme mais pas qu'il soit orthogonal. Pouvez-vous m'aidez svp?

par **Nightmare** » 02 Nov 2009, 16:42

Salut,

ben quitte à pouvoir construire un isomorphisme, rien ne nous empêche de le rendre orthogonal ! On envoie les éléments de la première base sur la deuxième en s'arrangeant pour conserver la norme !

par **ludo56** » 02 Nov 2009, 16:50

Je ne vois pas très bien ce que sont tes deux bases...

par **Nightmare** » 02 Nov 2009, 16:52

Tes deux sev ont la même dimension donc des bases de même cardinal. Pour avoir un isomorphisme il suffit d'envoyer le premier vecteur de la première base sur le premier de la deuxième, le deuxième vecteur sur le deuxième etc. et vu qu'on a le même nombre de vecteur, on a bien la bijectivité.

par **ludo56** » 02 Nov 2009, 17:29

d'accord ! et donc pour que

soit orthogonal, je peux prendre deux bases orthonormales

{

} et

{

} et donc on peut avoir ||

(

) || = ||

|| = 1 = ||

|| ... et donc pour tout x , c'est bien ça?

par **Nightmare** » 02 Nov 2009, 17:45

exactement !

par **ludo56** » 02 Nov 2009, 17:48

super merci!

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