Endomorphisme orthogonal

[bentaarito]

Bonjour,

je veux démontrer que tout endomorphisme orthogonal est inversible en dimension infinie.
Pour cela je cite Riesz pour l’existence de l'adjoint, puis j'arrive à montrer l'inversibilité à gauche (ie la surjectivité) mais je bloque sur le second bout.
A-t-on la commutativité? :hum:
Où suis-je entrain d'essayer de montrer un résultat faux?
(J'ai en tête le décalage à gauche et à droite mais je ne sais pas s'ils sont orthogonaux)

[bentaarito]

Quelqu'un pour confirmer! :triste:

[Doraki]

Si tu prends une base de hilbert (e1,e2,e3....en....) d'un espace pré-hilbertien, et que tu définis f(en) = e(n+1),
il me semble bien que f est un endomorphisme orthogonal qui n'est pas inversible.
Je me demande bien comment t'as fait pour montrer qu'il était surjectif.

[bentaarito]

bonjour Doraki,

Pour la surjectivité , j'ai considéré l'adjoint de u ( qui existe toujours au vertu du Th. de Riesz) et j'ai montré que c'était l'inverse à gauche de u.

Pour l'application décalage, je me demande pourquoi elle est orthogonale :hum: ( je vois bien que c'est pas inversible)
PS: une base de Hilbert est orthogonale par définition?

[Doraki]

euh si c'est pas dans la définition bah rajoute orthogonale dans ma phrase.

f* f = id ça n' implique pas que f est surjective, mais que f* est surjective et f est injective.
Et de l'autre côté on a pas forcément f f* = id .
Dans mon exemple f* n'est pas injective donc ne préserve pas le produit scalaire.

[bentaarito]

Ok.

Donc en résumé, un endo orthogonal est tjr injectif, mais pas forcément surjectif.

[bentaarito]

Bonsoir,
a-t-on vraiment ça:
E=E_1 + E_(-1) ?

ou je me lance dans une fausse route :mur: :cry:

[bentaarito]

Nobody!! :cry:

[Doraki]

ben faudrait que tu nous dises qui sont E, E1, et E(-1) si tu veux qu'on ait une chance de comprendre ta question.

[bentaarito]

ah, je pensais être compréhensible sur la totalité de mon post
E: c'est l'espace vectoriel de dim n sur lequel u est un endo ortho
E_1: c'est le sous-espace propre de u associé à la vp 1
E_(-1):c'est le sous-espace propre de u associé à la vp -1

[Doraki]

ben si E est un C-ev de dimension finie et que u est un endomorphisme de E,
E est la somme directe des espaces caractéristiques associés aux valeurs propres de u.
La dimension de ces espaces caractéristiques est la multiplicité de la valeur propre comme racine du polynôme caractéristique de u.

[bentaarito]

justement ici le problème est plus général que ça:
on se donne un u endo orthogonal quelconque, et on veut montrer que si ses valeurs propres sont toutes réelles ( ie 1 et -1 alors) alors il est diagonalisable .
je pensais pouvoir montrer que E était une somme directe de E_1 et E_(-1) ( voir plus haut) mais j'arrive pas à montrer une inclusion.

[Doraki]

D'où tu sors que les valeurs propres d'un endomorphisme orthogonal doivent être 1 ou -1 ?
Tu penses quoi de f(x) = 2x ?