Endomorphisme normal
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
-
girdav
- Membre Complexe
- Messages: 2425
- Enregistré le: 21 Nov 2008, 23:22
-
par girdav » 06 Déc 2009, 23:01
Bonjour.
Je recherche une démonstration du théorème suivant :
Soit
un endomorphisme nomal de
. Alors il existe
,
des plans (avec éventuellement
ou
tel que :
1 )
2)
3)
avec
et
Mon prof a fait une récurrence sur la dimension de
.
Mais le passage sur la démonstration de l'existence d'un plan stable par
et
est assez flou.
C'est pourquoi je fais appel à vous, au cas où vous connaîtriez une référence qui traite le sujet.
Merci d'avance!
-
Nightmare
- Membre Légendaire
- Messages: 13817
- Enregistré le: 19 Juil 2005, 19:30
-
par Nightmare » 06 Déc 2009, 23:19
Salut !
Ca ne me semble pas vrai si u admet une valeur propre ! Par contre on peut dire qu'il existe un plan ou une droite stable par u et son adjoint.
Déjà, l'existence d'un plan ou d'une droite de u est "claire". Si u admet une valeur propre on prend la droite engendrée par un vecteur propre. Sinon, utliser Cayley-Hamilton pour montrer l'existence d'un plan stable par u.
Ensuite il suffit de montrer que tout espace stable pour u l'est aussi pour son adjoint, pour cela, regarder les matrices de u et u* dans une base formée d'une base d'un espace stable puis de son complémentaire.
-
girdav
- Membre Complexe
- Messages: 2425
- Enregistré le: 21 Nov 2008, 23:22
-
par girdav » 17 Déc 2009, 14:06
En fait on peut aussi le démontrer en utilisant la complexification: l'extension sera normale, donc diagonalisable dans
. On pourra se débrouiller à partir de ça.
Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 61 invités