Endomorphisme normal

[beeeeeennnnnn]

Bonjour, je cherche de l'aide pour un dm sur les endomorphismes normaux.
Voila mon problème :
Soit E un espace euclidien de dim finie n. Fixons un endomorphisme normal u.

La première partie consistait à démontrer que si F était sous espace stable par u, alors F orthogonal est stable par u également. Cette partie je pense avoir réussi l'essentiel.

Partie 2 :
a) Montrer que u admet un sous espace stable de dimension 1 ou 2.
J'ai démontré ça en passant par la décomposition du polynôme caractéristique.
b) Montrer qu'il existe une décomposition E = E1 + E2 + ... + Ep en somme directe orthogonale telle que la dimension des sous espace Ek sont soit 1 soit 2.
C'est la que je bloque, j'imagine qu'il faut utiliser la première partie ... :hum:
c) Montrer que si n = 2 et u normal, u est soit symétrique soit antisymétrique.
Ici j'ai des idées pour montrer qu'il peut être symétrique mais c'est tout :cry:

Merci beaucoup d'avance pour votre aide. :help:
A bientot.

[beeeeeennnnnn]

Personne ne peut m'aider SVP ??? :cry:
Juste une piste, une idée...

[alavacommejetepousse]

bonjour
récurrence sur dim E
dim E = 1 ok

on suppose le résultat jusqu'à n-1 et soit E de dim n, u endo ortho de E
u admet un sev E1 stable

dim E1 = 1 ou 2

F = E1 orthogonal stable par u et on applique l hypothèse de récurrence à
u restreint à F qui est encore normal.

[beeeeeennnnnn]

OK, merci pour ton aide, j'avais pas du tout pensé à raisonner sur les dimensions.
Sinon pour le c), si dim du sous espace stable est 1, la matrice est symétrique mais si la dimension vaut 2 ? Je vois pas pourquoi antisymétrique...

[alavacommejetepousse]

il suffit d'écrire une matrice 2x2 avec ses coeffs a,b,c,d et dire qu'elle commute avec sa transposée pour avoir le résultat