Endomorphisme, Isomorphisme,automorphisme...

[Françoisdesantilles]

Bonjour à tous et bon début de semaine, j'envoi ce message car je n'ai pas totalement compris les définition, d'endomorphisme, isomorphisme, automorphisme...
j'ai créer quelques exemple mais je voulais savoir si c'était bon ou si vous avez des choses à ajouté stp?

https://zupimages.net/viewer.php?id=23/22/fh7b.jpeg

PS: je n'ai pas trop compris ce que ça veut dire "bijective"

[Françoisdesantilles]

https://zupimages.net/viewer.php?id=23/22/3csl.jpeg

[Ben314]

Salut,
Quand tu as deux ensembles (quelconques) A et B et une application f:A->B, on dit que :
- f est surjective lorsque tout élément de B admet au moins un antécédent dans A :pour tout y de B, il y a au moins un x de A tel que f(x)=y.
- f est injective lorsque tout élément de B admet au plus un antécédent dans A :pour tout y de B, il y a au plus un x de A tel que f(x)=y (donc il ne peut pas y avoir deux antécédents distincts ce qui signifie que, si f(x)=f(x') c'est forcément que x=x')
- f est bijective lorsque tout élément de B admet exactement un antécédent dans A :pour tout y de B, il y a un unique x de A tel que f(x)=y. Cet unique x (dépendant de y) est noté f^-1(y) et l'application f^-1 de B dans A est appelée "bijection réciproque de f".

Ces notions là sont extrèmement utilisée dans absolument toutes les branches des mathématiques.

[Ben314]

A mon sens (donc a vaut ce que ça vaut), c'est pas con de commencer par des exemples de fonctions simples (et pas trop numériques) pour fixer les idées.

Par exemple quand tu compte des élèves dans une classe, tu créé une fonction d'un ensemble de la forme {1,2,3,...25} (par exemple) vers l'ensemble des élèves de la classe 1->toto ; 2-> lulu; 3->jojo ; etc...
Normalement, si tu te gourre pas, la fonction est bijective : chaque élève (ensemble d'arrivé) correspond à un nombre et un seul (ensemble de départ).
Et si tu te goure alors c'est :
- Soit que tu as raté un/des élèves et la fonction n'est pas surjective : cet élève (=élément de l'ensemble d'arrivé) n'a pas d'antécédent (= pas de nombre associé)
- Soit y'en a un que tu as compté (au moins) deux fois et la fonction n'est pas injective : cet élève (=élément de l'ensemble d'arrivé) a plusieurs antécédents (= plusieurs nombres associés).

A travers cet exemple, on voit apparaître un résultat extrêmement simple mais très utile en dénombrement (donc en proba discrètes par exemple) : il existe une bijection entre deux ensembles finis si et seulement si les deux ensembles ont le même cardinal (=nombre d'élément)

[koomath]

[Françoisdesantilles]

Salut,
Quand tu as deux ensembles (quelconques) A et B et une application f:A->B, on dit que :
- f est surjective lorsque tout élément de B admet au moins un antécédent dans A :pour tout y de B, il y a au moins un x de A tel que f(x)=y.
- f est injective lorsque tout élément de B admet au plus un antécédent dans A :pour tout y de B, il y a au plus un x de A tel que f(x)=y (donc il ne peut pas y avoir deux antécédents distincts ce qui signifie que, si f(x)=f(x') c'est forcément que x=x')
- f est bijective lorsque tout élément de B admet exactement un antécédent dans A :pour tout y de B, il y a un unique x de A tel que f(x)=y. Cet unique x (dépendant de y) est noté f^-1(y) et l'application f^-1 de B dans A est appelée "bijection réciproque de f".

Ces notions là sont extrèmement utilisée dans absolument toutes les branches des mathématiques.

Merci pour ton aide Ben,
c'est important de revenir, sur les définitions, je crois même qu'on peut schématisé tout ça, aussi, il y a un lien entre les fonctions et les applications , mais ces notions sont présentes partout oui!!!

[Françoisdesantilles]

A mon sens (donc a vaut ce que ça vaut), c'est pas con de commencer par des exemples de fonctions simples (et pas trop numériques) pour fixer les idées.

Par exemple quand tu compte des élèves dans une classe, tu créé une fonction d'un ensemble de la forme {1,2,3,...25} (par exemple) vers l'ensemble des élèves de la classe 1->toto ; 2-> lulu; 3->jojo ; etc...
Normalement, si tu te gourre pas, la fonction est bijective : chaque élève (ensemble d'arrivé) correspond à un nombre et un seul (ensemble de départ).
Et si tu te goure alors c'est :
- Soit que tu as raté un/des élèves et la fonction n'est pas surjective : cet élève (=élément de l'ensemble d'arrivé) n'a pas d'antécédent (= pas de nombre associé)
- Soit y'en a un que tu as compté (au moins) deux fois et la fonction n'est pas injective : cet élève (=élément de l'ensemble d'arrivé) a plusieurs antécédents (= plusieurs nombres associés).

A travers cet exemple, on voit apparaître un résultat extrêmement simple mais très utile en dénombrement (donc en proba discrètes par exemple) : il existe une bijection entre deux ensembles finis si et seulement si les deux ensembles ont le même cardinal (=nombre d'élément)

Oui l'exemple est bien plus simple et on s'embrouille pas avec, c'était malin merci, tout est lié en maths!

[koomath]

2. APPLICATIONS LINÉAIRES
2.1. Définitions.
Définition 2.1. Soient et deux -espaces vectoriels. Une application de dans est une application linéaire si pour deux vecteurs de et deux scalaires de quelconques, on a :

Un endomorphisme de est une application linéaire de dans .
Un isomorphisme est une application linéaire bijective.
Un automorphisme de est une application linéaire bijective de dans .
Une forme linéaire sur est une application linéaire de dans .
Remarque 2.1. On a en particulier .
Exemple 2.1. Les applications linéaires de dans sont les applications de la forme :

Les endomorphismes de sont les applications de dans lui-même de la forme :

Les formes linéaires de sont les .
Exercice 2.1. Montrer que les applications suivantes sont des applications linéaires :
(i) de dans .
(ii) de dans