F l'endomorphisme de R^3 dont la matrice...

[Pardit]

Bonjour,

Je suis en train de réviser mon concours d'ingénieur de la fonction de la fonction publique. J'ai trouvé les annales mais pas corrigées et je bloque sur un exercice. Pour le 1) c'est bon, je ne vois pas comment démarrer. Merci pour votre aide.

Voici l'énoncé :

Soit f l'endomorphisme de R^3 dont la matrice par rapport à la base de canonique de R^3 est :


5 5 -14
A= 6 6 -16
5 5 -14

On considère les vecteurs de R^3 :

u1=(1,2,1) u2=(1,-1,0) u3=(1,1,1)


1) La matrice A est-elle inversible? Justifier.

2) a. Pour k € (1,2,3), calculez f(uk), puis exprimer f(uk) en fonction de uk.

b. En déduire les valeurs propres de f.

c. Déterminer une base de chaque sous-espace propre.

3) a. En déduire une matrice carrée inversible P, que l'on précisera, telle que :

P^-1AP=D

avec
1 0 0
D= 0 0 0
0 0 0

b. Calculer P^-1

c. Démontrer que tout entier naturel n, n sup ou égal à 1, on a :

A^n=PD^nP^-1

d. Expliciter A^n.

[benekire2]

salut ,

Je t'interroge sur "c'est quoi une matrice au fond" regarde bien dans ton cours la définition de ta matrice et tu auras assez facilement ta réponse car par exemple u1=(1,0,0)+2(0,1,0)+(0,0,1) donc f(u1)=...

[Pardit]

Merci pour votre réponse. Mais je bloque vraiment (peut-être les neuronnes en surchauffe). Pouvez-vous me résoudre au moins le début.
Merci.

[benekire2]

Oui , il n'y a (mais vraiment) rien de difficile.

Donc ta matrice nous dit par définition que f((1,0,0))=(5,6,5) que f((0,1,0))=(5,6,5) et que f((0,0,1))=(-14,-16,-14)

Or f est linéaire ... et donc f(u1)=f((1,0,0))+2f((0,1,0))+f((0,0,1))=(5,6,5)+(10,12,10)-(14,16,14)=(1,2,1)=u1 ...

Pareil pour u2 et u3

2b >> Définition d'une valeur propre ?

2c >> Définition des sev propres ?

3a >> As-tu une idée de quoi prendre ? Si tu n'en a pas , regarde bien ce qu'on fait , on change de base , et d'après toi dans quelle base est exprimée D ? Donc il faut passer de la base ... à la base ...
Indication. Regarde les valeurs propres

3b >> Calcul

3c >> Calcul encore

3d >> Bon là tu auras compris qu'il suffit de calculer D^n ... et c'est pas le plus dur a faire !

[Pardit]

Merci, en fait comme celà fait très longtemps que je n'ai pas fait de mathématiques. Je reprends un peu tout du début. C'est une remise à niveau pour un concours. C'est pour ça que j'ai du mal même sur des choses pas difficiles.

Donc si j'ai compris:

2) a) f(u2)= f((1,0,0)) - f((0,1,0) + 0f((0,0,1)) = (5,6,5)-(5,6,5) = (1,-1,0) = u2

f(u3)=f((1,0,0))+f((0,1,0))+f((0,0,1))=(5,6,5)+(5,6,5)-(14,16,14)=(1,1,1)= u3

b)les valeurs propres sont (1,-1,1).

Pouvez-vous me dire si c'est bon et m'aiguiller sur la suite.

Merci.

[Doraki]

je comprends pas ça

(5,6,5)-(5,6,5) = (1,-1,0)
(5,6,5)+(5,6,5)-(14,16,14)=(1,1,1)

(5,6,5) - (5,6,5) ça devrait faire (5-5, 6-6, 5-5)

[Pardit]

Oui je suis d'accord. Mais je pensais que le (1,-1,0), correspondait au signe positif ou négatif ou nul du résultat.