Endomorphisme diagonalisable

[romi64]

Bonjour, voici le sujet :

E est un espace euclidien et f un endomorphisme autoadjoint définie positif. On note , ,..., les valeurs propres distinctes de f et on note ,,..., les sous espaces propres associés. On note aussi , ..., leurs dimensions respectives.

1) On suppose qu'il existe g endomorphisme autoadjoint définie positif tel que f = g².

a) Montrer que fog = gof et en déduire que, pour tout i dans {1,...,r} g laisse stable .
Pour tout i dans {1,...,r} on note alors la restriction de g à E_i.

b) Soit i dans {1,...,r}

i) Montrer que est diagonalisable et que ses valeurs propres , ,..., sont strictement positives.

ii) Montrer que = et en déduire que = puis que

1)a) pas de soucis je l'ai fais

1) b) Comment montrer que est diagonalisable ? Besoin d'une piste

Merci beaucoup.

[romi64]

Dois je partir de la définition? i.e un endomorphisme u de E est diagonalisable s'il existe une base de E formée de vecteurs propres pour u.

ou bien utiliser : u est un endomorphisme de E diagonalisable ssi E est somme directe des sous-espaces propres de u

[romi64]

Je vous fais partager l'idée que j'ai eu :

g est un endomorphisme symétrique donc diagonalisable (à redémontrer je pense même si connu?). De plus comme g laisse stable il resterait à montrer que la restriction de g à est aussi diagonalisable.

Est ce la bonne marche à suivre à votre avis ?

[girdav]

Comme est autoadjoint (restriction d'un endomorphisme autoadjont), tu peux en déduire que est diagonalisable.

[romi64]

Comme est autoadjoint (restriction d'un endomorphisme autoadjont), tu peux en déduire que est diagonalisable.

Bonjour et merci beaucoup ! Par contre pour la 2e où autoadjoint implique diagonalisable vaut mieux le démontrer proprement non ? (c'est pour le concours du CAPES).

Merci

[girdav]

Je pense que oui (tu fais allusion à une preuve par récurrence sur la dimension de l'espace vectoriel en question?).

[romi64]

euh je n'ai aucune idée de la preuve ! ^^

[romi64]

Oui tu as raison j'ai vu trainé cette démonstration utilisant une récurrence sur la dimension n de E