Endomorphisme Cyclique

[Monsieur23]

Bonjour,

je suis en MPSI et j''ai un DM de maths à faire sur les endomorphismes cycliques. Je vous remet l'introduction où on explique ce que c'est, et ensuite la question qui me pose le plus de difficultés ...

E désigne un R-espace vectoriel de dimension 2. id est l’application identité de E. n est un entier naturel véri;)ant n 2. On dit qu’un endomorphisme f de E est cyclique d’ordre n lorsqu’il existe n vecteurs de E véri;)ant :
• est une famille génératrice de E.
• .
• p {2, ... , n},
Une telle famille est appelée un cycle pour f .

On prend cyclique d'ordre n.

Soit la matrice de f dans une certaine base de E. Déterminer une condition nécessaire et su;)sante sur les réels a, b, c, d pour que f soit cyclique d’ordre 2. Quelle est la nature d’un endomorphisme cyclique d’ordre 2 ?

On a prouvé avant que les deux vecteurs quelconques dans un cycle sont distincts, que deux vecteurs consécutifs forment une base de E, quemais que pour k entre 0 et n strictement ...

J'ai commencé à chercher des choses avec des matrices de passage, en prenant pour la base quelconque avec et ...


Donc
Et

Donc

Je continue les calculs ...
J'arrive à , avec

J'ai bien

Mais enfin là je me suis un peu perdu moi même ...
En plus en calculant ( ou ), je ne trouve pas ( ou )

Enfin voilà, je ne sais plus trop quoi faire ...

Merci à ceux qui peuvent m'aider

Mr.23

[fahr451]

bonjour

la CNS ( en te lisant il me semble que tu n'as prouvé que l 'aspect C N) est f^2 = id et f différent de id ce qui équivaut sur la matrice de f (dans une base quelconque) à M^2 = I et M différent de I

nature de f :f est une symétrie distincte de id

[Monsieur23]

Ben dans ce cas-là,




C'est un peu bourrin comme condition ça, non ? :hum:

De toutes façons je ne sais jamais quel sens correspond à la CN et vice versa ^^

Merci fahr, je regarderai mieux demain quand même