Endomorphisme antisymétrique

par **mehdi-128** » 16 Mai 2007, 17:28

Soit u un endomorphisme antisymétrique de E un espace euclidien réel de dimension n.
Montrer que la seule valeur propre réelle est 0,u est-il diagonalisable dans le R espace vectoriel E?
Je ne voit pas comment commencer....

par **yos** » 16 Mai 2007, 17:33

Bonjour.
En calculant

, on doit l'obtenir.
La deuxième question est encore pluis simple : si u était diagonalisable, sa matrice diagonale serait la matrice nulle.

par **mehdi-128** » 16 Mai 2007, 17:38

Bonjour,
le calcul me donne:lambda*(u(x)/x) mais je ne vois pas trop quoi faire ensuite..

par **mehdi-128** » 16 Mai 2007, 17:51

Y a quelqu'un ?

par **yos** » 16 Mai 2007, 17:52

, mais u*=-u (faut bien utiliser ça un jour).

par **mehdi-128** » 16 Mai 2007, 17:58

ah ok c'est bon :j'obtiens:2lambda(u(x)/x)=0.
Mais pour le coup je comprends pas pourquoi u n'est pas diagonalisable car la matrice nulle est diagonale pour moi ......

par **yos** » 16 Mai 2007, 18:22

Je reprends la deuxième question :
si u est l'endomorphisme nul, alors il est diagonalisable (évident).
Sinon, il n'est pas diagonalisable car la matrice nulle ne représente que l'endomorphisme nul.

par **mehdi-128** » 16 Mai 2007, 18:26

ah ok merci.Mais pour la premiere question j'obtiens :

2lambda(u(x)/x)=0 mais ccomment en conclure que lambda=0?

par **yos** » 16 Mai 2007, 18:38

Non j'ai déliré : c'est

donc tu as

, soit

.

par **mehdi-128** » 16 Mai 2007, 18:42

ouf merci.

Endomorphisme antisymétrique

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