Endomorphime et polynome caractéristique

[adrien41]

bonjours à tous
1) Soit f un endomorphisme d'un R espace vectoriel de E de dimension fini tel que f^3=f
Prouver que f est diagonalisable, quels sont ses valeurs propres possibles ? (j'ai trouvé : -1,1 et 0) quel peut être sont polynome minimal ? je n'ai pas compris, enfin je sais comment trouver le polynome minimal d'un polynome caractéristique

2) Soit f un endomorphisme d'un R espace vectoriel de E de dimension fini tel que f^3=f² et dim(ker-fxId)=1
déterminer ses valeurs propres ? : 1 et 0 (je crois), prouver que f² est un projecteur de E , je n'ai pas compris même si je sais qu'un projecteur c'est f²=f

je crois qu'on fait f²of²=f^4=f^3of=f^2of=f^3=f²

merci !

[adrien69]

bonjours à tous
1) Soit f un endomorphisme d'un R espace vectoriel de E de dimension fini tel que f^3=f
Prouver que f est diagonalisable, quels sont ses valeurs propres possibles ? (j'ai trouvé : -1,1 et 0) quel peut être sont polynome minimal ? je n'ai pas compris, enfin je sais comment trouver le polynome minimal d'un polynome caractéristique

2) Soit f un endomorphisme d'un R espace vectoriel de E de dimension fini tel que f^3=f² et dim(ker-fxId)=1
déterminer ses valeurs propres ? : 1 et 0 (je crois), prouver que f² est un projecteur de E , je n'ai pas compris même si je sais qu'un projecteur c'est f²=f

je crois qu'on fait f²of²=f^4=f^3of=f^2of=f^3=f²

merci !

Yo Adrien !

1) Pas besoin d'un polynôme minimal, tu as un polynôme annulateur scindé à racines simples : X(X-1)(X+1), à partir de là un joli théorème te dit que pour tout polynôme P annulateur de f ton endomorphisme, le spectre de f est inclus dans les racines de ce polynôme.

2) C'est bon pour les valeurs propres. Par contre tu peux réécrire le truc avec la dim je ne comprends pas.
Oui tu as bien fait de calculer f²of², montrer que f² est idempotente est bien ce qui te permet de montrer que c'est un projecteur.