Il est indiqué qu'il faut prendre la dérivée de chaque côté de la formule mais j'ai toujours pas compris cette histoire de dérivation terme à terme :hum:
Est-ce quelqu'un peut me donner quelques indication supplémentaires ?
Encore les séries entières
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Encore les séries entières
par humpf » 18 Jan 2007, 20:19
Je dois montrer que pour tout x tel que |x| < R (ici, R = 1), on a (série de Taylor de arctan)
 = 1 - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7})
.
Il est indiqué qu'il faut prendre la dérivée de chaque côté de la formule mais j'ai toujours pas compris cette histoire de dérivation terme à terme :hum:
Est-ce quelqu'un peut me donner quelques indication supplémentaires ?
Il est indiqué qu'il faut prendre la dérivée de chaque côté de la formule mais j'ai toujours pas compris cette histoire de dérivation terme à terme :hum:
Est-ce quelqu'un peut me donner quelques indication supplémentaires ?
par Joker62 » 18 Jan 2007, 21:36
Salut
Donc tu as ceci : Arctan(x)' =
De plus tu sais que
et tu sais que cette série a pour rayon de convergence 1
en posant u = -x² tu retrouveras la dérivée de Arctan
Donc dans le cercle de convergence, ou l'intervalle de convergence puisque tu travailles sur |R, tu peux intégrer termes à termes et retrouver la formule que tu as
c'est à dire :
 \ = \ \sum_{k=0}^{\infty} \frac {(-1)^kx^{2k+1}}{2k+1} \quad \forall x \ tq \ |x| \ < \ 1)
Donc tu as ceci : Arctan(x)' =
De plus tu sais que
en posant u = -x² tu retrouveras la dérivée de Arctan
Donc dans le cercle de convergence, ou l'intervalle de convergence puisque tu travailles sur |R, tu peux intégrer termes à termes et retrouver la formule que tu as
c'est à dire :
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