Encore Laplace [RESOLU]

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nicollivier
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Encore Laplace [RESOLU]

par nicollivier » 02 Déc 2007, 20:04

C'est encore moi avec mes questions sur Laplace...

On me demande de résoudre ce système d'équations:
-(y1(t))' = y2(t) - 3y1(t)+exp(-t)
-(y2(t))' + 2y2(t) = 0

Avec y1(0)=0
y2(0)=1

Je ne vois pas trop comment procédé.
Quelqu'un aurait des indices?!...

Merci

Nico



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Sa Majesté
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par Sa Majesté » 02 Déc 2007, 20:26

La 2ème équation se résout facilement non ?
-(y2(t))' + 2y2(t) = 0
y2(0)=1

y2(t)=e^(2t)

nicollivier
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par nicollivier » 02 Déc 2007, 20:40

Et bien pour la deuxième je trouve :
y2(t) = -exp(-2t) ce qui donne comme transformée: (-1/(s+2))

Par contre pour Y1(t): ( 1/(s+1) - 1/(s+2) )* 1/(s+3), par contre je n'arrive pas à trouver l'original...

nicollivier
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par nicollivier » 02 Déc 2007, 21:00

Bien je pense avoir trouvé...
Donc pour Y1(s) = (1/(s+1) + 1/(s+2) ) * 1/(s+3)
Si on met tout sur le même dénominateur on obtient:
(2s+3)/(S+1)(S+2)(S+3). Via la décomposition en éléments simples on obtiens que :
Y1(s) = 1/2(S+1) + 1/(S+2) -3/2(s+3)
Et la transformation inverse donne :
y1(t) = 1/2 exp(-t) + exp(-2t) - 3/2 exp(-3t)

Qu'est-ce que tu en penses?!

NazDreG
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par NazDreG » 02 Déc 2007, 21:05

ça m'a l'air correct ^^

busard_des_roseaux
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par busard_des_roseaux » 02 Déc 2007, 21:07

nicollivier a écrit:On me demande de résoudre ce système d'équations:
-(y1(t))' = y2(t) - 3y1(t)+exp(-t) (1)
-(y2(t))' + 2y2(t) = 0 (2)

Avec y1(0)=0
y2(0)=1



on note que l'équation (2) se résoud à vue.
En remplaçant dans (1), puis par la méthode de "variation de la constante"
on trouve facilement une solution particulière de l'équation (1)

évidemment, ça n'utilise pas la transformée de Laplace (on nage en pleine absurdité scolaire. résoudre un système par la transformée de Laplace, système qui se résoud..à vue :cry: )

nicollivier
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par nicollivier » 02 Déc 2007, 21:43

busard_des_roseaux a écrit:on note que l'équation (2) se résoud à vue.
En remplaçant dans (1), puis par la méthode de "variation de la constante"
on trouve facilement une solution particulière de l'équation (1)

évidemment, ça n'utilise pas la transformée de Laplace (on nage en pleine absurdité scolaire. résoudre un système par la transformée de Laplace, système qui se résoud..à vue :cry: )


Il y a peut-être plus facile, mais le but de cette exercice n'est pas de trouver rapidement une solution, mais de maitriser la transformation ;)

Nico

busard_des_roseaux
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par busard_des_roseaux » 02 Déc 2007, 22:06

nicollivier a écrit:Il y a peut-être plus facile, mais le but de cette exercice n'est pas de trouver rapidement une solution, mais de maitriser la transformation ;)

Nico



oui, mais je trouve qu'ils auraient dû choisir un exemple où le recours à la transformée de Laplace était indispensable, simple question de pédagogie...

nicollivier
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par nicollivier » 02 Déc 2007, 22:16

busard_des_roseaux a écrit:oui, mais je trouve qu'ils auraient dû choisir un exemple où le recours à la transformée de Laplace était indispensable, simple question de pédagogie...


=> est-ce que cela n'aurait pas été plus difficile justement?!
Je connais cette transformation que depuis 3 semaines, donc on y va doucement...

 

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