Encore un exo sur la réduction des endom !!!

[Supernova]

Holà !
J'ai rencontré un problème avec un exo qui impose d'utiliser les valeurs et les espaces propres pour montrer l'équivalence suivante:
u est diagonalisable l'appli : l'est avec E est un IK-ev de dim finie
donc pourriez-vous m’éclairer un peu le problème: comment dois-je procéder et quelles remarques supplémentaires qu'on peut faire pour simplifier la tâche et bien sur toutes vos indications sont les bienvenues

Merci d'avance

[adrien69]

Holà !
J'ai rencontré un problème avec un exo qui impose d'utiliser les valeurs et les espaces propres pour montrer l'équivalence suivante:
u est diagonalisable l'appli : l'est avec E est un IK-ev de dim finie
donc pourriez-vous m’éclairer un peu le problème: comment dois-je procéder et quelles remarques supplémentaires qu'on peut faire pour simplifier la tâche et bien sur toutes vos indications sont les bienvenues

Merci d'avance

Petit truc auquel je pense, à prendre ou à laisser, mais ça peut être utile : u diagonalisable ça équivaut à sa transposée l'est. Et comme là avec v tu prémultiplies u c'est comme postmultiplier sa transposée. Ça pourrait donc être intéressant de regarder comment u réagit aux lignes des matrices propres de

[Supernova]

Petit truc auquel je pense, à prendre ou à laisser, mais ça peut être utile : u diagonalisable ça équivaut à sa transposée l'est. Et comme là avec v tu prémultiplies u c'est comme postmultiplier sa transposée. Ça pourrait donc être intéressant de regarder comment u réagit aux lignes des matrices propres de

ouais, sincèrement, moi aussi j'ai pensé à ça, ça va être plus simple puisqu'on connait que tu et u ont les mêmes vp et puis si on travaille avec uov c'est plus simple. on obtiendra que phi_u et u ont les mêmes vp. mais jusqu'au moment on n'a pas introduit les espaces propres

[adrien69]

ouais, sincèrement, moi aussi j'ai pensé à ça, ça va être plus simple puisqu'on connait que tu et u ont les mêmes vp et puis si on travaille avec uov c'est plus simple. on obtiendra que phi_u et u ont les mêmes vp. mais jusqu'au moment on n'a pas introduit les espaces propres

Je pense qu'en fait il vaut mieux voir les lignes des v comme des vecteurs propres de la transposée de u. Ça devrait marcher.

EDIT : En fait je n'arrive pas à le faire marcher

[adrien69]

Tu as déjà entendu parler des polynômes minimaux ? Ça marche crème avec ça !

[Supernova]

Tu as déjà entendu parler des polynômes minimaux ? Ça marche crème avec ça !

oui je les connais c en fait la question 1-a qui demande d'utiliser les polynômes annulateur
maintenant pour la question 1-b elle impose les éléments propres
si on fait l'étude sur l'endomorphisme qui à chaque v de L(E) associe v o u et puis on transpose! c ça?

[adrien69]

oui je les connais c en fait la question 1-a qui demande d'utiliser les polynômes annulateur
maintenant pour la question 1-b elle impose les éléments propres
si on fait l'étude sur l'endomorphisme qui à chaque v de L(E) associe v o u et puis on transpose! c ça?

Ça m'en a tout l'air oui. Imaginons que tu aies déjà transposé, tu as (en confondant u avec sa transposée et v avec sa transposée, puisque l'on s'en fiche dans le cadre de ce problème)

Pour tout v=Mat(v1,v2,...,vn) et pour tout b réel, (les vi sont les colonnes de ta matrice)
uv=bv équivaut à uvi=bvi pour tout i.
Donc u diagonalisable implique tu as une base de vp ei associée à des bi
Tu regardes u.Mat(e1,0,...,0) puis u.Mat(0,e1,0,...,0) ...
Puis u.Mat(e2,0,...,0) u.Mat(0,e2,0,...,0) etc.
J'appelle Mij la matrice avec la colonne ei à la j ème place,
On peut très vite vérifier que c'est une famille libre de n² matrices de Mn(R) donc une base et que ce sont tous des vecteurs propres. Voilà pour un sens.
Dans l'autre sens, Si phi est diagonalisable, tu as une base propre de matrices. En extraire une base de vecteurs propres de u est aussi facile qu'au-dessus, je te laisse faire.

[Supernova]

Ça m'en a tout l'air oui. Imaginons que tu aies déjà transposé, tu as (en confondant u avec sa transposée et v avec sa transposée, puisque l'on s'en fiche dans le cadre de ce problème)

Pour tout v=Mat(v1,v2,...,vn) et pour tout b réel, (les vi sont les colonnes de ta matrice)
uv=bv équivaut à uvi=bvi pour tout i.
Donc u diagonalisable implique tu as une base de vp ei associée à des bi
Tu regardes u.Mat(e1,0,...,0) puis u.Mat(0,e1,0,...,0) ...
Puis u.Mat(e2,0,...,0) u.Mat(0,e2,0,...,0) etc.
J'appelle Mij la matrice avec la colonne ei à la j ème place,
On peut très vite vérifier que c'est une famille libre de n² matrices de Mn(R) donc une base et que ce sont tous des vecteurs propres. Voilà pour un sens.
Dans l'autre sens, Si phi est diagonalisable, tu as une base propre de matrices. En extraire une base de vecteurs propres de u est aussi facile qu'au-dessus, je te laisse faire.

Okay! thanks ^^