Encore des suite

[awataf]

bonsoir jai un probleme avec un exercie de suite je ne sais par où commencer l'exercice est le suivant:
étudier la convergence éventuelle de Un et Vn . Dans le cas où la suite est convergente on précisera la limite

Un=Somme(1/n+k)
la somme varie de k=1 a n

la suite Vn definie par
Vo=pi/4
pour tout n un entier Vn+1=sin Vn

[busard_des_roseaux]

Bonsoir,


pour la question (1) , il est possible d'encadrer la somme:
n termes tous inférieurs au plus grand et supérieurs au plus petit.

on trouve



La différence se calcule aisémment.

Déduire la convergence de la monotonie et des encadrements.

Pour la question (2), démontrer que la fonction sinus
envoie dans

majorer la dérivée (cosinus) sur cet intervalle.

Avec la majoration du thm des accroissemnts finis, en déduire
que la suite est de Cauchy, puis sa limite.


Cordialement,