Éloignement de figures géométriques

[Riemannien]

Bonjour à tous, mes recherches partent d'un constat tout bête, je me rends compte que les mathématiques actuelles ne semblent pas démontrer l'assertion suivante: "Un carré qui s'éloigne devient petit à petit un point alors qu'un rectangle devient petit à petit un segment". Rien ne nous permet de démontrer que l'assertion suivante est fausse : "Un carré qui s'éloigne devient petit à petit un cube". C'est quand même bizarre que ceci semble si étrange à démontrer. Merci pour tout éclaircissement.

[barbu23]

Bonjour,

La remarque que tu évoques sur ce fil me fait penser au cas particulier de deux droites parallèles dans un espace affine, qui se croisent en un point lorsqu'il est projeté à l'infini dans son complété projectif ( espace projectif associé ). Dans le cas du rectangle qui s'éloigne à l'infini pour devenir carré, signifie à mon sens que la projection du rectangle dans l'espace projectif associé est un carré. Enfin, ce que je pense. Pour le moment, ce que je dis est informel, et à toi d'essayer de trouver un cadre théorique qui met en application ce que tu avances. :happy3:

Cordialement. :happy3:

[Riemannien]

Justement là est le problème, auparavant on m'avait conseiller d'utiliser la topologie comme cadre théorique, et en particulier l'homéomorphisme pour commencer, mais j'aimerai avoir plusieurs avis sur les outils éventuels à utiliser, dans votre explication, quelles sont le ou les branches des mathématiques utilisées ?

[nodjim]

Il y a, je pense, un grave malentendu persistant avec l'infiniment petit. Un carré est un carré, aussi "petit" soit il. Avant d'aller plus loin, je voudrais bien qu'on me dise ce que ça signifie être petit ou grand. C'est sans doute déja là que la confusion commence.

[Riemannien]

Justement nodjim, mon objectif est de mettre en place des outils mathématiques qui permettront d'étudier la nature apparente du carré ou du rectangle par éloignement. Il est intuitivement admis par tous qu'un carré qui s'éloigne ne ressemble pas à une sphère mais à un point, et pourtant rien pour le démontrer

[nodjim]

Si on parle d'apparence, je ne suis pas sûr qu'on soit bien dans le domaine mathématique. De plus, en mathématique, un point est parfaitement invisible. Au mieux, on peut parler d'une petite tache pour un carré éloigné. Ne pas oublier aussi dans cette histoire la physiologie de l'oeil.

[Doraki]

un rectangle devient petit à petit un segment

what.

donnes des définitions de "qui s'éloigne" et "devient" sinon tu parles dans le vide.

[Riemannien]

what.

donnes des définitions de "qui s'éloigne" et "devient" sinon tu parles dans le vide.

On pourrait voir l'éloignement comme une nouvelle transformations qui ne conserve pas la nature apparente d'un objet géométrique. L'important ici n'est pas de savoir si le carré reste un carré ou pas, bien sur que le carré reste un carré, mais ici l'important est de savoir vers quoi sa nature apparente tend . Pour vous donner un exemple plus clair, le cas du rectangle est plus parlant, il semble évident qu'un rectangle (tel que sa longueur soit 15 fois supérieur à sa largeur par exemple) semble tendre vers un segment alors qu'un carré ou un cercle ne semblent jamais tendre vers un segment mais directement vers un point. Comment aborder et démontrer ces différences ?

[Doraki]

Un segment de quelle longueur ?
Est-ce qu'un rectangle de taille 1 * 1.0001 tend lui aussi vers un segment, et si non, c'est quoi la dimension x à partir de laquelle un rectangle de taille 1 * x tend vers un segment ?

Je suis absolument pas d'accord, mais de toutes façons comme tu ne dis rien de mathématique je peux pas te contredire.

[Riemannien]

Un segment de quelle longueur ?
Est-ce qu'un rectangle de taille 1 * 1.0001 tend lui aussi vers un segment, et si non, c'est quoi la dimension x à partir de laquelle un rectangle de taille 1 * x tend vers un segment ?

Je suis absolument pas d'accord, mais de toutes façons comme tu ne dis rien de mathématique je peux pas te contredire.

Je vous l'accorde, pour l'instant il ne s'agit que d'une vision intuitive et non rigoureuse, je pense qu'il faudra du temps avant de pouvoir formaliser mes idées, et je suis justement ici pour bénéficier d'une aide qui permettra cette formalisation. Comme pour tout concept mathématique à l'état embryonnaire il faut d'abord se fier à son intuition, et je pense qu'intuitivement pour répondre à ta question à partir du moment ou il s'agit d'un rectangle il tend vers un segment ( même pour x très petit). Tout les polygones réguliers et le cercle tendent directement vers des points sans passer par un segment, et sur le plan il s'agit des seuls figures avec cette particularité ( le rectangle n'en fait pas partie)

[Riemannien]

Et pour la longueur du segment, elle est proportionnelle au rapport k ( avec k le rapport entre la longueur et la largeur du rectangle)

[Doraki]

Donc si un rectangle 1*2 tend vers un segment de longueur 2, alors un carré tend vers un segment de longueur 1 ?

[Riemannien]

Donc si un rectangle 1*2 tend vers un segment de longueur 2, alors un carré tend vers un segment de longueur 1 ?

Non, un carré tend vers un segment de longeur 0 car il tend vers un point. Soit un rectangle de rappor k ( avec k=longueur/largeur) alors quand k tend vers 1, le segment qui résulte de l'éloignement tend vers 0. Et ce segment ( appelons sa logueur s) a une longeur s qui augmente quand k augmente

[Doraki]

Donc s et k ne sont pas proportionnels ?

[Riemannien]

Donc s et k ne sont pas proportionnels ?

Si ils le sont, mais qu'as-tu envie de remettre en question Doraki ? il n'y a rien de plus intuitif qu'un carré semble devenir un point en s'éloignant et un rectangle un segment. Et je viens de préciser que rien n'est au point, je ne peux donc pas te répondre précisément sur les détails de mon problème car je suis justement ici pour donner plus de rigueur et formaliser ces notions bizarre d'éloignement et de ressemblance. Je ne vois pas ou est le problème, car ici, de façon analogue aux séries infinies avec une forme fermée ( par exemple celle du problème de Bâle avec pi²/6) , je ne m'intéresse pas aux différents stades du carré quand il s'éloigne mais plutôt vers quoi il tend : il s'agit de la notion célèbre de limite appliquée à la nature des figures géométriques.

[nodjim]

Attention Rieman, tu ne pourras pas faire de modélisation sur ces assertions telles que: un carré éloigné a l'apparence d'un point. C'est peut être vrai, mais c'est juste dû à la physiologie de l'oeil humain. De plus, je le redis, tu ne peux parler de point: un point mathématique est rigoureusement invisible. Tu devrais parler de tache.
Il n'y pas que les carrés (pour ce que je comprends, tu parles davantage d'un objet plein au contour carré) qui font tache quand ils sont éloignés, mais toutes les formes d'apparence compacte auront la même apparence.
Informe toi sur la physiologie de l'oeil, il y a plein de choses à connaitre sur cet aspect. L'oeil ne renvoie pas tjs une image conforme à la réalité, le cerveau reconstruit une image en fonction de son expérience.

[barbu23]

L'idée est peut être d'étudier la déformation de ton objet de départ ( rectangle ) à travers une succession continue de translations et d'homothéties, et rien que ces deux transformations qui entrent dans ce jeu. :happy3:

[Riemannien]

[quote="nodjim"]Attention Rieman, tu ne pourras pas faire de modélisation sur ces assertions telles que: un carré éloigné a l'apparence d'un point. C'est peut être vrai, mais c'est juste dû à la physiologie de l'oeil humain. De plus, je le redis, tu ne peux parler de point: un point mathématique est rigoureusement invisible. Tu devrais parler de tache.
Il n'y pas que les carrés (pour ce que je comprends, tu parles davantage d'un objet plein au contour carré) qui font tache quand ils sont éloignés, mais toutes les formes d'apparence compacte auront la même apparence.
Informe toi sur la physiologie de l'oeil, il y a plein de choses à connaitre sur cet aspect. L'oeil ne renvoie pas tjs une image conforme à la réalité, le cerveau reconstruit une image en fonction de son expérience.[/QUOT

Dans ce cas je vais formuler une assertion qui ne peut pas relever de la physiologie de l'oeil humain car je vais parler d'un objet de longueur infinie: une droite. Intuitivement je pense que tu vas être daccord avec l'assertion suivante: une droite qui s'éloigne indéfiniment reste une droite, comment le démontrer ?

[SLA]

Si ils le sont, mais qu'as-tu envie de remettre en question Doraki ? il n'y a rien de plus intuitif qu'un carré semble devenir un point en s'éloignant et un rectangle un segment. Et je viens de préciser que rien n'est au point, je ne peux donc pas te répondre précisément sur les détails de mon problème car je suis justement ici pour donner plus de rigueur et formaliser ces notions bizarre d'éloignement et de ressemblance. Je ne vois pas ou est le problème, car ici, de façon analogue aux séries infinies avec une forme fermée ( par exemple celle du problème de Bâle avec pi²/6) , je ne m'intéresse pas aux différents stades du carré quand il s'éloigne mais plutôt vers quoi il tend : il s'agit de la notion célèbre de limite appliquée à la nature des figures géométriques.

Salut,
Justement non, ce que tu dis est même contre-intuitif.
Imagine un rectangle de taille 1 x 1/2 inscrit dans ton carré préféré 1 x 1.
Quand tu t'éloignes, le rectangle est toujours inscrit dans la carré (c'est à dire plus petit).
Comment pourrait-il devenir plus gros à la fin?

Cordialement

[Riemannien]

Attention Rieman, tu ne pourras pas faire de modélisation sur ces assertions telles que: un carré éloigné a l'apparence d'un point. C'est peut être vrai, mais c'est juste dû à la physiologie de l'oeil humain. De plus, je le redis, tu ne peux parler de point: un point mathématique est rigoureusement invisible. Tu devrais parler de tache.
Il n'y pas que les carrés (pour ce que je comprends, tu parles davantage d'un objet plein au contour carré) qui font tache quand ils sont éloignés, mais toutes les formes d'apparence compacte auront la même apparence.
Informe toi sur la physiologie de l'oeil, il y a plein de choses à connaitre sur cet aspect. L'oeil ne renvoie pas tjs une image conforme à la réalité, le cerveau reconstruit une image en fonction de son expérience.

De plus, en démontrant rigoureusement qu'un carré qui subit un éloignement progressif tend vers un objet de dimension 0 on aura prouvé qu'il tend vers un point sans avoir recours à ces artifices de taches,...etc qui semble tout à fait superficiel, je pense que la notion centrale de mon future raisonnement est celle de "dimension". L'éloignement ne semble pas agir que sur le carré, mais de manière général il permet un basculement progressif d'une dimension supérieur à une dimension inférieur. Je pense donc que le problème est moins naïf qu'il n'y parrait