Ellipses et triangle

[ducreusot]

Bonjour,
Je cale sur la question que voici :
Soit un triangle ABC quelconque, soit l'ellipse passant par C et dont les foyers sont A et B, soient les 2 autres ellipses obtenues en permutant les sommets circulairement. Ces ellipses, prises 2 par 2, ont une corde en commun.
Comment peut-on démontrer que ces 3 cordes passent par un même point.
Merci d’avance à qui me mettra sur la voie.
Ducreusot

[ducreusot]

Bonjour,
J'ai trouvé la réponse à ma question. Si cette réponse intéresse quelqu'un (ce qui n'est pas certain puisque personne n'a répondu à ma question), je puis la donner. Pour cela, se signaler sur le forum.
Ducreusot






QUOTE=ducreusot]Bonjour,
Je cale sur la question que voici :
Soit un triangle ABC quelconque, soit l'ellipse passant par C et dont les foyers sont A et B, soient les 2 autres ellipses obtenues en permutant les sommets circulairement. Ces ellipses, prises 2 par 2, ont une corde en commun.
Comment peut-on démontrer que ces 3 cordes passent par un même point.
Merci d’avance à qui me mettra sur la voie.
Ducreusot[/quote]

[Ben314]

Salut,
Bon, soyons honnètes : j'ai cherché, j'ai pas trouvé...
Le point de concours est le symétrique de l'orthocentre par rapport au centre du cercle circonscrit (ou le contraire, je me rappelle plus) mais je n'ai rien trouvé d'autre que du total bourrin (avec des équations) dans lesquelles il apparait comme un "miracle" qu'un polynôme de degrés 4 (celui donnant l'intersection des deux coniques) se factorise comme produit de deux polynômes de degrés 2.

Donc je suis preneur d'une (grosse) indic, voire de la solution...

[Ben314]

Finalement, je me demande si je ne tient pas le 'fil' :
En ecrivant les équations "foyer+directrice" des deux élipses qui on comme foyer A on a :
MA=eMH et MA=e'MH' où H et H' sont les projetés de M sur les directrices respectives D et D'.
Les points d'intersection des deux élipses vérifient donc eMH=e'MH' et, sauf erreur, c'est l'équation d'une droite qui ne doit pas être super dure à définir...