Eléments simplifiables pgcd

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Aragone
Messages: 3
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Eléments simplifiables pgcd

par Aragone » 10 Aoû 2022, 13:58

Quelques soient a et b dans N (ensemble des entiers naturels), on note aTb = pgcd(a,b).

Soit le monoïde (N,T) d'élément neutre 0 (remarque : 0 est élément simplifiable). On cherche à savoir s'il existe des éléments simplifiables dans ce monoïde, c'est-à-dire des éléments a tels que quelques soient b et c dans N,

aTb = aTc => b=c

Je ne sais pas du tout comment m'y prendre. J'ai voulu raisonner par l'absurde en supposant l'existence d'un tel élément non nul.

aTb = aTc => b=c

On remarque que si l'on prend b = a² et c = a, on impose a = 1. Mais je ne vois pas en quoi cela peut m'aider. En effet, j'obtiens cette condition indépendamment du fait que T est la loi du pgcd. Si je suis par exemple dans le monoïde (Z,+), je peux également obtenir ce résultat. Or tous les éléments de ce monoïde sont simplifiables. J'en déduis, et je ne sais pas trop où cloche le raisonnement, que ce n'est pas parce qu'on a cette condition que a vaut forcément uniquement 1 et rien d'autre.

Merci d'avance.
Aragone



catamat
Membre Rationnel
Messages: 688
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Re: Eléments simplifiables pgcd

par catamat » 10 Aoû 2022, 20:40

Bonjour
Soit p1 et p2 deux nombres premiers ne figurant pas dans la decomposition en facteurs premiers de a.

Posons b=a*p1 et c=a*p2

aTb=a et aTc=a donc aTb=aTc mais b est différent de c, donc a n'est pas simplifiable.

Aragone
Messages: 3
Enregistré le: 07 Juil 2022, 18:59

Re: Eléments simplifiables pgcd

par Aragone » 10 Aoû 2022, 21:07

Bonjour,
Pourquoi est-on obligé de passer par les nombres premiers ?
Si on pose b = aq et c = aq' où q != q', cela ne suffit pas ?

lyceen95
Membre Irrationnel
Messages: 1864
Enregistré le: 15 Juin 2019, 01:42

Re: Eléments simplifiables pgcd

par lyceen95 » 10 Aoû 2022, 23:28

Quand on parle PGCD , on parle décomposition en nombres premiers, et donc nombres premiers. C'est incontournable.

Là, tu fais un exercice difficile ( un exercice qui n'est pas de niveau collège ni lycée). Il faut connaître tout ce qu'un lycéen connaît sur les PGCD (plus plein d'autres choses) pour attaquer des exercices de ce niveau.

GaBuZoMeu
Habitué(e)
Messages: 5440
Enregistré le: 05 Mai 2019, 11:07

Re: Eléments simplifiables pgcd

par GaBuZoMeu » 11 Aoû 2022, 10:36

Bonjour,

"On remarque que si l'on prend b = a² et c = a, on impose a = 1. Mais je ne vois pas en quoi cela peut m'aider."
On t'a donné une indication et tu n'as pas su l'utiliser. Si est simplifiable, alors en particulier on doit avoir puisque . Donc ou . Est-ce que est simplifiable ? Que peux-tu en déduire sur les éléments simplifiables de ?
N.B. : aucun nombre premier n'est maltraité au cours de cette démonstration.

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