Elément neutre

[freezee]

Bonjour,
Soit G un groupe muni de la loi x .
a,b sont des éléments de G tels que ba=ab² et ab=ba²
Montrer que a=b =e où e est le neutre de G.
j'ai essayé d'utiliser les symétriques et l'associativité (on n'a pas grand chose d'autre de toute façon) mais je ne parviens pas à m'en sortir. Merci pour votre aide !

[chan79]

salut

[freezee]

merci chan79. Je peux remplacer ensuite ba mais après ? quelle est la démarche ? Y-at-il une méthode pour mener à bien ce genre d'exercice ?

[freezee]

j'ai trouvé quelquechose

donc
donc a*b=e
donc

[freezee]

mais je ne trouve pas a=b=e..

[jlb]

salut, l'idée c'est d'utiliser ce qu'on te donne!! ab=ba²=ba.a .

[Ben314]

Salut,

Y-at-il une méthode pour mener à bien ce genre d'exercice ?

Non, il n'y a pas de "recette magique" pour ce type d'exo.
Il faut uniquement essayer "d'emboiter" les différentes formules qu'on a pour en obtenir de nouvelles en essayant d'obtenir des trucs de plus en plus simple.
L'objectif étant bien évidement de se familiariser avec les "manipulation symboliques" dans un groupe donc je suis pas sûr du tout que ce soit un bon service à te rendre de faire l'exo. à ta place vu que ça veut dire qu'ensuite tu va partir avec un gros handicap...

Là, vu les deux formules que tu as, il y a deux trucs "évidents" qu'on doit penser à écrire.

[jlb]

j'ai trouvé quelquechose

donc
donc a*b=e
donc

Tu as presque fini!! Si ab=e, reporte dans ba=ab² !!

[freezee]

ah oui effectivement il ne manquait plus grand chose...
merci à toi jlb.

[freezee]

Là, vu les deux formules que tu as, il y a deux trucs "évidents" qu'on doit penser à écrire

A ben314... si tu as une méthode différente pour résoudre cet exercice pourrais-tu me la soumettre ?

[Ben314]

Perso, partant de et , ben le premier truc qui me vient à l'esprit, c'est "d'enquiller" les deux formules donc d'écrire que (la raison étant bien sûr le fait que les deux formules "inversent" l'ordre de a et de b, donc si on applique les deux, on se retrouve avec plus ou moins la même chose qu'au début)
En multipliant à gauche par on en déduit que (que tu peut aussi écrire "en simplifiant à gauche par si tu as vu dans ton cours la notion "d'élément simplifiable à droite/à gauche")
Puis, en multipliant à gauche par on en déduit que c'est à dire que
Et si on injecte dans une des formules de départ, par exemple dans , ça donne c'est à dire donc et on a aussi .

[freezee]

D'accord... merci à toi ben314.
j'avais une autre question également. A partir de l'égalité a.b=e peut-on conclure alors que a=e ou b=e et ensuite vérifier que si l'un deux éléments est l'élément neutre alors nécessairement l'autre est également l'élément neutre... est-ce correct ?

[Ben314]

A partir de l'égalité a.b=e peut-on conclure alors que a=e ou b=e...

Bien sûr... que non...
Le fait que a.b=e, ce que ça te dit (dans un groupe de neutre e), c'est que b est l'inverse de a (et réciproquement) et absolument rien d'autre.
Par exemple, dans R* muni de la multiplication x (qui donne bien un groupe de neutre e=1), tu as 3 x (1/3) = 1 alors que ni 3 ni 1/3 ne sont égaux à 1 !!!

[freezee]

J'ai bien compris ! un grand merci à toi ben314!!