élément absorbant introuvable

[aegnor56]

Bonjour,

Je souhaiterais savoir pourquoi la LCI "+" n'a pas d'élément absorbant.

Sinon, où est-il?

[Vassillia]

Bonjour,
Dans l'ensemble E que tu étudies
Un élément absorbant pour l'addition devrait vérifier et il n'y en a pas
Par contre, 0 est absorbant pour la multiplication car

[aegnor56]

Oui, je sais bien.
Mais pourquoi? Est-ce invérifiable? Est-ce une incomplétude?
Quel en est la preuve?

[hdci]

Bonjour,

La question manque de précision. Vous parlez d'une loi de composition interne "+", donc par hypothèse c'est une loi de composition interne "quelconque" définie sur un ensemble "quelconque". Le fait de l'appeler "+" fait un parallèle implicite avec l'addition dans les ensembles de nombres, et par suite cette loi est commutative, associative, admet un neutre et tout élément admet un symétrique, ceci soit dans l'ensemble E soit dans une construction d'un sur-ensemble (de la même façon qu'on construit à partir de , par classes d'équivalence).

Admettons donc que ce sur-ensemble soit E, chaque élément admet un symétrique, et ce symétrique est unique (c'est une démonstration dans la théorie des groupes). Notons 0 l'élément neutre et pour un élément, notons ce symétrique, on a donc .
Supposons qu'il existe un élément absorbant que je vais appeler . Alors pour tout , , en particulier or on sait par définition de l'élément neutre que : cela montre que si a est absorbant, alors .

Mais alors a+x=0 devient : et comme cela montre que et finalement cela montre que E est un singleton.

Donc oui la loi additive peut avoir un élément absorbant, dans le seul cas où l'ensemble est réduit à un singleton (et dans ce cas toute LCI sur un tel ensemble est exactement égale à cette loi additive).

Si maintenant la question est "dans les ensembles de nombres, comment montrer que l'addition n'a pas d'élément absorbant", il faut alors repartir de la définition axiomatique des entiers naturels puis de l'addition.

Pour faire cours : il y a deux façons de définir , les axiomes de Peano ou les axiomes de l'ordre (une troisième façon avec la théorie ZFC et l'axiome de l'infini, mais passons). Les axiomes de l'ordre disent "il existe un ensemble non vide bien ordonné non majoré, dont toute partie non vide majorée admet un plus grand élément" (l'aspect "bien ordonné" indiquant que toute partie non vide admet un plus petit élément).
A partir de cette définition, on peut d'une part démontrer le théorème de récurrence (avec Peano, c'est ce théorème qui est un axiome et qui permet de démontrer l'aspect bien ordonné), d'autre part définir l'addition comme suit : pour tout entier p, on définit par récurrence où on désigne par n^{++} l'entier successeur (le plus petit des entiers strictement supérieur à n).

On démontre alors par récurrence que l'addition est commutative, associative et qu'elle admet un élément neutre.
Il est alors facile de voir qu'il n'y a pas d'élément absorbant puisque est toujours supérieur à n, strictement si p n'est pas nul.

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Dans , on définit la LCI de manière usuelle, avec la convention habituelle pour tout entier naturel et . Alors est bien un élément absorbant.

On peut jouer le même jeu avec et l'addition (ce qui est, via le logarithme, la même chose que avec la multiplication).

Par ailleurs, il est clair qu'une LCI pour laquelle tout élément est régulier (= simplifiable, à gauche ou à droite) ne peut avoir d'élément absorbant que si l'ensemble est réduit à un élément. C'est plus ou moins ce que dit hdci, mais il n'y a besoin pour cela que de la régularité (pas d'un élément neutre, pas de l'associativité, pas de la commutativité).

D'un certain point vue, l'existence d'un élément absorbant est un défaut vu que c'est un obstacle à la régularité (tout le monde sait qu'il faut faire gaffe à ne pas simplifier par 0). Pourquoi vouloir en avoir un ?

[aegnor56]

Merci à hdci et GaBuZoMeu.

Je repars en étude. (Je vais surtout potasser les affirmations d'hdci). L'infini comme élément absorbant me semblait aussi possible aussi...

[hdci]

comme le dit GaBuZoMeu, le problème avec l'infini c'est qu'il n'y a plus régularité puisque

Mais


J'étais resté sur une loi additive 'usuelle" aboutissant à un groupe (mais effectivement la régularité suffit)

[aegnor56]

Je ne suis que novice mais apprenant gourmand: "régularité" est défini comment dans ce cas?
De plus pourrait s'expliquer par ?

[hdci]

tout élément est régulier (= simplifiable, à gauche ou à droite)

La définition d'un élément régulier à gauche a pour la loi * dans E est donc



Même chose "à droite".

La non-régularité n'implique pas que l'élément est absorbant. Exemple dans la multiplication des matrices :

[aegnor56]

Encore merci. C'est clair.