On considère une distribution continue de charge D constitué d’une droite d’extension infinie de densité de charge linéique uniforme λ > 0 et d’un cylindre circulaire concentrique de rayon a d’extension infinie et de densité de charge surfacique uniforme σ> 0.
On souhaite calculer le champ électrostatique créé par cette distribution de charge en un point quelconque de l’espace.
Je me suis fais un schéma ou a=rayon cylindre
d=hauteur cylindre
Partie1 : Distribution D seule
Q1: Par l’étude des symétries et invariances du système argumenter sur le choix du repère de calcul
Symétries: tous les plans passants par le fil infini sont des plans de symétries et tous les plans perpendiculaires au fil également.
REPONSE : Invariances : tous les axes parallèles au fil infini compris dans la surface chargé ont la même charge (invariance par translation) et tous les axes autour du fil quelque soit l’angle ont la même charge (invariance par rotation).
on utilisera donc le repère cylindrique : E(r, θ,z)=Er(r) ur
Q2 : Enoncer le théorème de Gauss et proposer une surface d’intégration du flux de E adaptée au problème considéré.
REPONSE :La surface de Gauss est un cylindre fermé d’axe de révolution de fil infini,
Théorème de Gauss appliqué à une surface fermée:
ϕ=∫E(M).n.dS = Qint/ε₀
Q3 : Calculer le champ électrostatique en un point quelconque de l’espace, en différentiant la zone de l’espace située à l’extérieur du cylindre de celle située à l’intérieur.
REPONSE : Intérieur du cylindre r>a :
Qint= σ 2 Pi a d + λd
Th de Gauss : ϕ=∫ E(M).n.dS = E(M).ur.ur.dS = E(M)∫ dS =E(M) 2 Pi r d
Donc E(r)=2 Pi r d = (σ 2 Pi a d + λd) / ε₀
E(r)= (σ 2 Pi a d + λd) / (ε₀ 2 Pi r d) = σa/(ε₀ r) + λ/(ε₀ 2 Pi r)
Extérieur du cylindre r<a :
Le champ comme vu précédemment est radial, on va cependant quand même prendre un cylindre centré sur le fil.
ϕ= Qint/ε₀ = λd/ ε₀
E=Efil + Ecylindre= (Ef-Ec)er = Er er
Ecylindre= -Ec(r) er
Efil= -Ec(r) er = Ef(r) er
∫∫E(M).n.dS=∫∫Ecyl .er.dS+∫∫Efil.er.dS
…
=λd/ ε₀
2 Pi r (Ef(r)-Ec(r))=1/ε₀
Ef(r)-Ec(r)=λ / (2 Pi r ε₀)=Er(r)
E=λ / (2 Pi r ε₀) er
Partie 2 :On considère dans cette partie du problème une distribution de charge constituée par la somme de deux
distributions D1 et D2, toutes deux équivalentes à la distribution D. Dans un repère orthonormé (O,ex,ey,ez),
la droite chargée infinie de la distribution D1 est portée par le plan(O,y,z) et a pour équation y = −b ; la droite chargée infinie de la distribution D2 est portée par le plan (O, y, z) et a pour équation y = +b. Dans ce qui suit, il ne sera considéré que le cas où b > a.
Q4 : Par l’étude des symétries et invariances du système donner les caractéristiques du champ électrostatique pour un point quelconque du plan (O, x, z).
REPONSE : Je bloque à partir de là
Sym :
Inv:
Q5 : En utilisant les résultats de la question 4 de la partie précédente donner l’expression du vecteur champ électrostatique pour un point M quelconque du plan (O, x, z).
REPONSE : Je bloque, je sais que juste que F(M)=qE(M)
par