égalité ?

[achille]

Salut tous,
J'ai besoin de ça pour la philo (eh oui!) : si deux fonctions définies sur un intervalle sont égales sur une partie dense de celui-là, seraient-elles égales ?

[prody-G]

Salut tous,
J'ai besoin de ça pour la philo (eh oui!) : si deux fonctions définies sur un intervalle sont égales sur une partie dense de celui-là, seraient-elles égales ?

si elles sont continues oui

[achille]

si elles sont continues oui

Et en cas de discontinuité : peut-on imaginer quelques fonctions qui sont égales sur un dense dans un intervalle sans pour autant être identiques ?

[lapras]

Oui par exemple sur R.
f(x)=1 si x est rationnel, f(x)=0 sinon
les fonction x->1 est x->f(x) sont égales sur Q mais pas sur R.
Question : pourquoi en philo tu as besoin de ça ?

[achille]

Oui par exemple sur R.
f(x)=1 si x est rationnel, f(x)=0 sinon
les fonction x->1 est x->f(x) sont égales sur Q mais pas sur R.
Question : pourquoi en philo tu as besoin de ça ?

j'ai pensé à trouver une analogie mathématique du phénomène de "la conscience qu'on a du principe d'identité sur une durée", on sait tous que a=a (ce qui exprime le principe d'identité), mais je me suis dit que si sur une durée deux fonction diffèrent tout en restant égales sur une partie dense, cela en quelques sortes exprimerait une "conservation fallacieuse" du principe d'identité : ainsi on dira de deux objets qu'ils sont identiques alors qu'ils ne le sont absolument pas ! Encore que pour la conscience la durée ne s'opère à vrai dire que sur un ensemble fini d'instants dans un intervalle, rien à voir avec un ensemble dense, donc si l'analogie réussit sur un espace dense c'est que c'est valide pour le cas de la conscience réelle

voilà donc merci tous pour vos réponses

[achille]

Ok j'ai toujours besoin d'aide svp.
Bon je me suis dit que pour affiner l'analogie, je dois avoir une estimation de la probabilité de tomber sur un instant qui appartient à l'ensemble dense ou à son complémentaire sur l'intervalle, je m'explique : à un instant donné la conscience décide "d'assister à la fonction", de faire une observation (prendre une photo pour ainsi dire), si cet instant est noté t : quelles sont les chances pour que cet instant fasse partie de l'ensemble dense ? Prenons l'exemple de Lapras : quelle est la probabilité de tomber aléatoirement sur un rationnel d'entre les réels ?

[busard_des_roseaux]

elle est nulle.

dans ton modèle, la proba d'accèder à la conscience de l'identité
est nulle. ce que l'on constate quotidiennement :zen:

[achille]

elle est nulle.

dans ton modèle, la proba d'accèder à la conscience de l'identité
est nulle. ce que l'on constate quotidiennement :zen:

lol...Mais puis-je avoir une idée sur la preuve ? merci

[Zavonen]

.Mais puis-je avoir une idée sur la preuve ? merci

Une probabilité est une mesure.
Les axiomes des mesures exigent l'additivité dénombrable.
C'est à dire que la mesure d'une réunion dénombrable d'ensembles disjoints doit être égale à la somme (infinie) des mesures de ces ensembles.
La mesure d'un point est nulle.
Les rationnels sont en infinité dénombrable.
Donc la probabilité en prenant un réel 'au hasard' de tomber sur un rationnel est nulle.
Et pourtant cela peut se produire...
Il faut bien que le hasard 'arrive' :happy2:

[achille]

Une probabilité est une mesure.
Les axiomes des mesures exigent l'additivité dénombrable.
C'est à dire que la mesure d'une réunion dénombrable d'ensembles disjoints doit être égale à la somme (infinie) des mesures de ces ensembles.
La mesure d'un point est nulle.
Les rationnels sont en infinité dénombrable.
Donc la probabilité en prenant un réel 'au hasard' de tomber sur un rationnel est nulle.
Et pourtant cela peut se produire...
Il faut bien que le hasard 'arrive' :happy2:

Ok donc si j'ai bien compris : Q étant équipotent à N, et N étant réunion dénombrable de singletons (nombre par nombre) disjoints, tous de mesure nulle, la probabilité de choisir un rationnel est nulle. Donc tout ce qui empêche la probabilité de choisir un irrationnel d'être nulle est bien le fait que R-Q n'est pas dénombrable (car après tout en peut en faire elle aussi une réunion de disjoints, mais non dénombrable), pourtant cela fait "sommer une infinité de probabilités nulles un nombre de fois non dénombrable", et cela ne prouve pas que cette série est de valeur infinie non ? (je suis conscient que cela importe peu pour la démo du fait que la mesure de Q sur R étant nulle, donc zéro par n'importe quoi de non nul ça fait en fait une probabilité nulle de toute façon, bon c'est à dire : probabilité de choisir un rationnel sur les réels est mesure(Q sur R) / mesure (R sur R) où "/" est la division et mesure(R sur R) = 1 j'imagine n'est ce pas ? c'est juste par curiosité si je veux savoir la mesure des non rationnels sur R, c'est tout ) voilà merci

[Zavonen]

C'est bien ça!.
C'est un peu déconcertant au début quand on a étudié seulement les probabilités sur des univers finis. Le raisonnement s'appuie ici exclusivement sur la cardinalité, mais il existe d'autres exemples plus troublants encore.

[kazeriahm]

bah non, enfin juste pour répondre à la question posée :

la mesure "usuelle" sur R (la mesure de Lebesgue, en particulier celle dont il est question dans ce fil) n'est pas une mesure finie : mesure(R)=infini

pour voir ca, tu peux remarquer que mesure(l'intervalle [b-a])=b-a... R est un intervalle très large

donc on ne peut pas parler de probabilité au sens exact du terme (probabilité = mesure finie, qui vaut 1 appliquée à l'ensemble tout entier => toute mesure finie peut être transformée en une probabilité en normalisant sa masse totale)

comme Q et R\Q sont disjoints, on a

infini=mesure(R)=mesure(Q)+mesure(R\Q)=0+mesure(R\Q)

[achille]

bah non, enfin juste pour répondre à la question posée :

la mesure "usuelle" sur R (la mesure de Lebesgue, en particulier celle dont il est question dans ce fil) n'est pas une mesure finie : mesure(R)=infini

pour voir ca, tu peux remarquer que mesure(l'intervalle [b-a])=b-a... R est un intervalle très large

donc on ne peut pas parler de probabilité au sens exact du terme (probabilité = mesure finie, qui vaut 1 appliquée à l'ensemble tout entier => toute mesure finie peut être transformée en une probabilité en normalisant sa masse totale)

comme Q et R\Q sont disjoints, on a

infini=mesure(R)=mesure(Q)+mesure(R\Q)=0+mesure(R\Q)

alors le raisonnement tiens sur des intervalles : on peut munir un intervalle d'une mesure probabiliste.
Tout ça c'est du nouveau pour moi : d'ailleurs j'aime bien la petite aventure
Bon maintenant pour revenir à une autre question : si l'on considère un intervalle et une partie dense dedans (bon pour parler de partie dense dedans faut d'abord qu'un intervalle puisse être un EVN ce qui n'est pas le cas, donc par partie dense je veux plutôt dire l'intersection d'un dense dans R avec cet intervalle), et n'importe laquelle (pas Q seulement), sa mesure reste-t-elle toujours nulle ?
La question tient à ce que, oui ou non, toutes les parties denses dans un intervalle seraient dénombrables.
Premier contre exemple (lol) : R\Q n'est pas dénombrable, et à priori la généralité voudrait que les denses dans un intervalle ne sont pas non plus dénombrables.
C'est vachement intriguant tout ça !
A moins que l'on puisse réussir une certaine "continuité" dans la sous-partie, sa mesure se trouve nulle ! L'avènement d'un évènement singulier est impossible, mais littéralement alors, ou bien pour lui assurer même une infime probabilité de se réaliser : il faut lui mettre un auxiliaire, c'est à dire l'entourer d'un petit intervalle (de mesure non nulle epsilon), comme ça la probabilité devienne au moins epsilon/mesure(I) avec I l'intervalle dans l'étude. En une formulation plus tragique encore : l'authenticité, la singularité, n'ont même pas assez de poids pour se réaliser sans management (aide et auxiliaire et le petit intervalle lol)...

[Zavonen]

bah non, enfin juste pour répondre à la question posée : la mesure "usuelle" sur R (la mesure de Lebesgue, en particulier celle dont il est question dans ce fil) n'est pas une mesure finie : mesure(R)=infini

Bien vu,
En fait il faut prendre la restriction de la mesure de Lebesgue à des intervalles de type [-n,+n], normaliser, puis donner à n des valeurs de plus en plus grandes.
L'énoncé correct devient:
Dans tout intervalle de longueur n, pour le tirage d'un réel au hasard et uniforme, la probabilité de tomber sur un rationnel est nulle.

[kazeriahm]

oui, mais en fait quand on y pense, le fait qu'une mesure soit de masse 1 sur son son ensemble de définition (ce qui fait d'elle une proba) n'a que peu d'interet... pourquoi un et pas 2*e+17*pi^gamma-514 ? 1 représente juste une masse globale générique

achille : tes questions sont à la fois fondamentales et très intéressantes. Il y a pleins de trucs à lire/voir sur le sujet.

Sinon, être dense n'a de rapport avec être dénombrable ou ne pas l'être:

Comme tu l'as dit Q est dénombrable, et Q réunis avec toute réunion dénombrable de réels est encore dénombrable et dense dans R, ce qui donne une infinité non dénombrable d'ensembles dénombrables denses dans R (héhéhéhé).

A contrario, R privé de toute réunion dénombrable (tiens R\Q par exemple) est encore dense dans R mais non dénombrable, ce qui donne une infinité non dénombrable d'ensembles non dénombrables denses dans R.

[achille]

oui, mais en fait quand on y pense, le fait qu'une mesure soit de masse 1 sur son son ensemble de définition (ce qui fait d'elle une proba) n'a que peu d'interet... pourquoi un et pas 2*e+17*pi^gamma-514 ? 1 représente juste une masse globale générique

achille : tes questions sont à la fois fondamentales et très intéressantes. Il y a pleins de trucs à lire/voir sur le sujet.

Sinon, être dense n'a de rapport avec être dénombrable ou ne pas l'être:

Comme tu l'as dit Q est dénombrable, et Q réunis avec toute réunion dénombrable de réels est encore dénombrable et dense dans R, ce qui donne une infinité non dénombrable d'ensembles dénombrables denses dans R (héhéhéhé).

A contrario, R privé de toute réunion dénombrable (tiens R\Q par exemple) est encore dense dans R mais non dénombrable, ce qui donne une infinité non dénombrable d'ensembles non dénombrables denses dans R.

merci pour l'intervention, d'ailleurs si vous avez un lien sur ce genre de mathématiques (ou document), qui puisse être simple et accessible à un élève de spé, ça serait le bienvenu Je pense qu'il faut que j'approfondisse ma connaissance de ce domaine des maths pour pouvoir retourner à la philosophie là-dessus en force.

[kazeriahm]

desole j'ai pas de document en tete...

un truc qui m'a toujours fait peur :

l'ensemble des fonctions continues sur [0,1] (ou n'importe quel segment) a valeurs reelles est en bijection avec R

[achille]

desole j'ai pas de document en tete...

un truc qui m'a toujours fait peur :

l'ensemble des fonctions continues sur [0,1] (ou n'importe quel segment) a valeurs reelles est en bijection avec R

j'ai trouvé ça sur un doc de l'ens, sur le site d'un normalien, tout à côté d'une comparaison avec P(R) l'ensemble des parties de R, qui apparemment est d'un "cardinal" mais vraiment supérieure à celui de R (on note des alephs), tout ceci pour un élève de spé reste d'un mystère délicieux à découvrir un jour
(kazeriahm si tu peux nous présenter une petite démo ou son ébauche, ça sera bien, j'aimerai bien connaitre quel genre de bijection y a-t-il enre R et C0(R,R) )