égalité de sommes

[nukejacass]

Bonjour,

Je travaille sur les sommes en ce moment et je ne comprends pas cette égalité :




Merci d'avance à celui/celle qui me répond...

[anthony_unac]

Bonsoir,
Parfois, on peut tout bêtement commencer par calculer les premiers termes histoire de voir
Lorsqu'il y a du dans la somme, ça signifie qu'il y aura une alternance de termes positifs puis négatifs etc ....

[nukejacass]

merci pour votre réponse,

J'ai compris cela, mais du coup ça ferait plutôt la somme des termes d'une suite des ce qui donne plutôt et non


C'est cela que je ne comprends pas...

[anthony_unac]

Oui sauf que là c'est un peu plus compliqué car on est ni dans le cas ni dans le cas .
Nous sommes précisément face à la somme des carrés pairs à laquelle on retranche la somme de tous les carrés impairs (c'est difficile d'imaginer au premier abord la formule explicite d'une telle somme)

[Lostounet]

Bonjour,

Je travaille sur les sommes en ce moment et je ne comprends pas cette égalité :




Merci d'avance à celui/celle qui me répond...

Salut, moi non plus je ne "comprends pas" cette somme. Mais ensemble, on peut essayer de la calculer

Donc on est devant une somme bizarre... La première chose à faire comme te l'a dit Anthony, c'est de prendre un certain n qu'on aime. Prenons par exemple n = 5

La somme est: S(5) = (-1)*1 + 2^2 - 3^2 + 4^2 - 5^2

Bon qu'est-ce qu'on voit... ? Des sommes et des différences de carrés. Pour les sommes, malheureusement on ne peut rien faire, mais une différence de carrés, ça c'est jouable avec l'identité remarquable ! Car 2^2 - 3^2 par exemple ça fait quoi? (2 - 3)(2 + 3) = -(2+3)

Et 4^2 - 5^2 = (4 + 5)(4 - 5) = -(4+5)

Cela nous fait: S(5) = -1 -(2+3) - (4 + 5) = -1-2-3-4-5 = -(1 + 2 + 3 + 4 + 5) = FORMULE CLASSIQUE


On a bien attrapé la clé de la solution. On va donc essayer de généraliser en utilisant ce constat: faire s'entretuer les termes consécutifs, en remarquant que pour tout entier k, (k+1)^2 - k^2 = (k+1-k)(k + k+1)
Donc
Alors:

On somme:

C'est ici qu'il faut essayer de distinguer les cas n pair et n impair ! car si on note l'égalité précédente S = S'-I

On constate qu'il y a une relation simple entre S et S' avec une réindexation. Et la deuxième somme tu peux la découper aussi et utiliser un résultat de ton cours.
Essaye de bidouiller la somme

Tu peux supposer d'abord n pair puis n impair.
Tu te retrouves avec 2S = blablabla (avec un résidu d'une des deux sommes en 0)

Je regarde s'il n'y a pas plus simple !

[anthony_unac]

Lostounet vous a montrer la voie avec le cas n impair, montrez nous à présent comment vous pouvez gérer le cas n pair en vous aidant d'un exemple (la somme des termes jusqu'à n=6 mettons)

[nukejacass]

Merci pour vos réponses,

Le soucis de votre cheminement relativement long est que moi mon égalité, elle intervient dans un calcul de somme dans lequel on passe de la somme de départ au résultat sans aucun intermédiaire, sans aucune explication... J'aurais pensé que le raisonnment était relativement simple...
Surtout que personne ne peut faire de tête votre raisonnement Lostounet, du coup je suis bloqué....

[Lostounet]

Lostounet vous a montrer la voie avec le cas n impair, montrez nous à présent comment vous pouvez gérer le cas n pair en vous aidant d'un exemple (la somme des termes jusqu'à n=6 mettons)

Sinon pour les gens fatigués comme moi, on pourra admirer la beauté de la géométrie ici:
http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?sess ... &+job=read

[nukejacass]

Ne vous faites pas de soucis je me débrouille... merci beaucoup quand même....

[Lostounet]

En fait sorry, moi aussi je pensais que ce serait plus rapide/simple

Mais si tu veux faire quelque chose de rapide et moins joli tu peux toujours faire une récurrence !

Supposons vraie jusqu'à n.


Hérédité (voyons quand est-ce qu'il faudra discuter des cas)...



Pas drole: moi j'étais parti pour trouver la somme sans avoir sa valeur donnée

[Maneeeel]

en utilisant le raisonnement par reccurance suppose en cas de n et montre n+1 ...

[anthony_unac]

on pourra admirer la beauté de la géométrie ici:
http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?sess ... &+job=read

C'est magnifique !

[chan79]

salut
dans le cas n=2p, j'avais pensé à:
-1+2²-3²+4²-5²+...+(2p)²=2(2²+4²+6²+...+(2p)²)-(1+2²+3²+...+(2p)²)
=8(1+2²+3²+...+p²)-((1+2²+3²+...+(2p)²)
et on utilise deux fois la formule de la somme des carrés
désolé si ça a déjà été dit précédemment

[Lostounet]

on pourra admirer la beauté de la géométrie ici:
http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?sess ... &+job=read

C'est magnifique !

Je savais que t'aimerais ça, toi qui aime cet aspect ésotéro-géométrique des motifs des maths

[Lostounet]

Question pour les gens d: il existe des formules générales pour les sommes alternées des k^j ? comme celle qu'on vient de voir. J'aimerais bien voir à quoi elles ressemblent.

(pour les non alternées ça existe... et modulo des bricoles on peut ptet s'y ramener mais ça doit exister des formulaires )

[anthony_unac]

la wikipedia mentionne :
"
où désigne le n-ième nombre de Bernoulli ; ces sommes sont en particulier nulles pour pair. Ce résultat est tourné en dérision par Abel en 1826"

Alors si Abel s'en moque ...

[Lostounet]

Où est le zéro dans notre cas?

[anthony_unac]

Bonjour,
Dans notre cas, et la somme porte sur un nombre fini de termes : (si le dernier terme est pair) ou (si le dernier terme est impair) .
La formule de la wikipedia semble donner la somme d'une infinité de termes de la forme pour :
Ce qui est douteux compte tenu du caractère divergent de l'affaire

[chan79]

on peut aussi écrire

[Razes]

Merci pour vos réponses,

Le soucis de votre cheminement relativement long est que moi mon égalité, elle intervient dans un calcul de somme dans lequel on passe de la somme de départ au résultat sans aucun intermédiaire, sans aucune explication... J'aurais pensé que le raisonnment était relativement simple...
Surtout que personne ne peut faire de tête votre raisonnement Lostounet, du coup je suis bloqué....

Ceci est long! Peut être que dans l'exercice il y a des étapes de la résolution qu'on pouvait exploiter et que tu n'a pas posté croyant qu'elles ne sont pas utiles?

Dans ton post tu nous donne une égalité à démontrer et pas plus.