Egalité entre partie entière

[jonses]

Bonjour à tous,

Je me permets de vous écrire, car je bloque sur la démonstration d'une égalité. J'ai passé beaucoup de temps sans avancer d'un poil. J'espère que quelqu'un pourra m'aider ou me donner un petit coup de pouce. Je vous en remercie d'avance.

-----------------------------------------------------
La question est simple : Montrer que



------------------------------------------------------

Au départ, j'étais parti sur une récurrence bête et méchante qui n'a pas abouti. J'ai vite abandonné, et je ne sentais pas que la résolution se fasse (facilement) par récurrence (mais je me trompe peut-être).

J'ai ensuite choisi de faire par méthode directe (et plutôt bourrin). L'idée que j'ai essayée est de montrer que la partie droite de l'équation est bien la partie entière de

Soit donc

Par souci de lisibilité je note : et (tous deux entiers naturels)

On a :



et alors :



Ce qui me donne :
Ce qui ne m'aide pas vraiment.

J'ai essayé de voir comment je peux jouer sur par rapport à pour essayer d'affiner mes inégalités au début, et mieux encadrer la différence . Malheureusement, je n'y arrive pas, et je cherche encore d'autre manière pour affiner mes inégalités au début pour aboutir à ce que soit encadré strictement par et

------------------------------------------------------------------

Je remercie d'avance tous ceux qui peuvent m'aider ou m'aiguiller sur cette question.
A plus

[perroquet]

Bonjour, jonses.

Notons , c'est un entier.

On a:


Pour démontrer le résultat demandé, il suffit donc de démontrer que:


En utilisant le fait que , on obtient:

...

[jonses]

Merci beaucoup