Égalité entre 2 intégrales

[jean159753]

Bonjour,

J'aimerais prouver la relation

pour .
J'ai essayé le changement de variable , ce qui donne après transformation pour la première intégrale



À partir de là je suis bloqué, si vous avez une astuce je suis preneur.

[Ben314]

Salut,
Tu es sûr de ton résultat ?
Quand on trace les fonction qu'il y a sous les radicaux de tes deux intégrales avec géogébra :
https://www.geogebra.org/classic/npbspsze
On constate qu'une des deux est entièrement en dessous de l'autre lorsque alpha=2 . . .

[jean159753]

Oui je suis sûr du résultat
Par contre le résultat n'est correct que dans l'intervalle .

Edit : même si l'une des fonctions est en dessous de l'autre sur presque tout l'intervalle, l'intégrale passe par 1 ou 2 racines du polynômes (x=1 pour g ou x=0 et x=1 pour f).

[jean159753]

J'ai trouvé. Pour prouver l'égalité j'ai commencé par faire un premier changement de variable puis un autre .

[Pisigma]

Bonjour,

je n'ai pas eu le courage d'essayer tes changements de variables, mais je suis quand même curieux de voir le

détail de ton calcul car si je prends et fait calculer les deux intégrales de départ,

par Wolfram,on trouve bien la même chose (

mais Wolfram passe par des intégrales elliptiques!!

[jean159753]

Bonjour,

Oui le résultat est une intégrale elliptique



Pour le prouver j'ai fait le changement de variable Puis on prouve que est équivalent à la deuxième intégrale de mon premier message (qu'on peut écrire en fonction de K : ).

Edit : Le calcul est assez long mais je peux donner . De plus on remarque que le changement de variable ne modifie pas les bornes. Ensuite il faut inverse la relation entre x et x' et on voit qu'on obtient une intégrale elliptique du premier type.

[Pisigma]

perso il y a un certain temps, je dirais même un temps certain, que je n'ai plus manipulé ce type d'intégrale, bravo!

je suppose que tu "fais" des maths de haut niveau

[jean159753]

Plutôt de la physique Je suis tombé sur cette intégrale en travaillant sur un problème.

[Ben314]

Chapeau. . .
J'ai un peu cherché, mais sans rien trouver, mais il faut dire que j'ai pas pensé à passer par un truc du style de ton "intermédiaire" où le polynôme sous la racine n'est plus que de degré 3.
J'y connait quasi que dalle aux intégrales elliptiques, mais je pensait (bêtement...) que celle de type ??? (degré 4 sous la racine en bas) restaient sous cette forme par tout changement de variable homographique : ERREUR !!!

Mais c'est une bonne chose, ça a un peu dérouillé ma vieille cervelle qui en a bien besoin . . .