Égalité complexe

par **PimaoP** » 17 Oct 2011, 19:27

Bonjour à tous,

Je suis en PCSI, et à la suite d'une colle raté, le prof m'a donné l'exo suivant à faire :

Résoudre (z-1)^6=z^6

J'ai tout divisé par z^6, et j'ai posé Z=(z-1)^6/z^6=1, et j'en ai déduit que Z appartenait à l'ensemble des U6, et donc que Z=e^(ikPi/3), 0
Seulement voilà, je me retrouve maintenant à devoir résoudre (z-1)/z = e^(ikPi/3), et c'est là que ça bloque.

J'ai essayé de raisonner en module et argument (|(z-1)/z|=|Z|=1 et arg[(z-1)^6/z^6]=arg(Z)=kPi/3) mais je ne parviens pas à aboutir !

Quelqu'un pourrait-il me donner le petit truc qui me ferait prendre conscience de ma bêtise ? :marteau:

Merci d'avance :)

par **XENSECP** » 17 Oct 2011, 19:31

Euh tu n'as plus qu'à résoudre une équation à une inconnue...

par **fatal_error** » 17 Oct 2011, 19:31

salut,

comme une eq dans R
(z-1)/z = e^(ikPi/3) =>(z-1)=ze^(ikPi/3) =>z(1-e^(ikPi/3)) = 1, etc

par **PimaoP** » 17 Oct 2011, 19:38

Je n'ai plus qu'à retourner en 4ème, là où on apprend à résoudre les équations à une inconnue. Merci, à force de bosser j'en oublie les fondamentaux ...

Je vais finir ce boulot de collégien, et me taper le tête contre le mur :mur:

Bonne soirée !

par **XENSECP** » 17 Oct 2011, 19:45

PimaoP a écrit:Je n'ai plus qu'à retourner en 4ème, là où on apprend à résoudre les équations à une inconnue. Merci, à force de bosser j'en oublie les fondamentaux ...

Je vais finir ce boulot de collégien, et me taper le tête contre le mur :mur:

Bonne soirée !

Bah c'est dommage d'avoir fait le + dur ^^

Bon courage (j'ai fait PCSI à l'époque

)

par **PimaoP** » 17 Oct 2011, 19:52

XENSECP a écrit:Bah c'est dommage d'avoir fait le + dur ^^

Bon courage (j'ai fait PCSI à l'époque )

Oui du courage, j'en aurais besoin :we: Merci en tout cas !

par **PimaoP** » 17 Oct 2011, 19:58

Et, par simple curiosité, et si c'est pas trop indiscret, tu as fait quoi après ta prépa ?

par **busard_des_roseaux** » 19 Oct 2011, 13:05

révise les bijections..

par **Black Jack** » 19 Oct 2011, 13:39

Pas mieux, simplement autrement :

(z-1)^6 = z^6
(z-1)^6 - z^6 = 0
((z-1)³)² - (z³)² = 0
((z-1)³ - z³).((z-1)³ + z³) = 0
(z³-3z²+3z-1-z³)(z³-3z²+3z-1+z³) = 0
(-3z²+3z-1)(2z³-3z²+3z-1) = 0
(-3z²+3z-1)(2z³- z² - 2z² +z + 2z - 1) = 0
(-3z²+3z-1)(z²(2z-1) - z(2z-1) +2z - 1)) = 0
(-3z²+3z-1)(2z-1).(z²-z+1) = 0

Et c'est ensuite sans difficulté...

:zen:

par **PimaoP** » 19 Oct 2011, 15:25

busard_des_roseaux a écrit:révise les bijections..

???

Black Jack a écrit:Pas mieux, simplement autrement :

(z-1)^6 = z^6
(z-1)^6 - z^6 = 0
((z-1)³)² - (z³)² = 0
((z-1)³ - z³).((z-1)³ + z³) = 0
(z³-3z²+3z-1-z³)(z³-3z²+3z-1+z³) = 0
(-3z²+3z-1)(2z³-3z²+3z-1) = 0
(-3z²+3z-1)(2z³- z² - 2z² +z + 2z - 1) = 0
(-3z²+3z-1)(z²(2z-1) - z(2z-1) +2z - 1)) = 0
(-3z²+3z-1)(2z-1).(z²-z+1) = 0

Et c'est ensuite sans difficulté...

Un peu long à mon goût. ^^

par **Black Jack** » 19 Oct 2011, 16:35

PimaoP a écrit:???

Un peu long à mon goût. ^^

Oui c'est pourquoi, j'ai commencé mon message par : "Pas mieux, simplement autrement :"

... Et c'est accessible même à ceux qui ne connaissent ni les exponentielles complexes ni les formules de De Moivre.

:zen:

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