Egalité de Cauchy Schwarz

par **bitonio** » 19 Sep 2006, 20:44

Bonsoir à tous,

je dois démontrer l'égalité de Cauchy Schwarz

Pour cela, je considère :

ou t est un polynome de degré

On trouve finalement que:

Si j'arrive à montrer que Delta est négatif, alors c'est gagné, on a l'égalité.... Le problème c'est que je vois pas comment le montrer que

Quelqu'un a une idée ??

Merci d'avance! :++:

par **xon** » 19 Sep 2006, 20:48

il me semble que tu peux dire que P(t) est un polynome de degré 2, à coefficient réels qui ne s'annule pas (sauf si tous les xk et yk sont nuls), c'est donc que son discriminant est strict négatif.

par **bitonio** » 19 Sep 2006, 20:54

Effectivement, merci ,mais que se passe t-il si mon polynome est de degré 1 ?

par **xon** » 19 Sep 2006, 20:56

si ton polynome est de degre 1 c'est que tous tes yk sont nuls, et ya rien à démontrer

par **bitonio** » 19 Sep 2006, 20:57

euh pourquoi ils sont tous nuls ? degré 1 signifie bien ax+b non ? j'ai pas suivi ...

par **xon** » 19 Sep 2006, 21:00

si tu regardes les termes en t² dans le devellopement de P(t) tu devrais retrouver y1²+...+yn² ce qui veut dire que si t'as pas de termes en t² c'est que y1²+...+yn²=0 donc que y1=...=yn=0

par **bitonio** » 19 Sep 2006, 21:07

Excuse moi, mais je ne comprend pas, peux tu détailler un peu plus ?

par **bitonio** » 19 Sep 2006, 21:12

J'ai compris entre temps !!! merci beaucoup :id:

par **xon** » 19 Sep 2006, 21:15

pas de prob,

si tu regarde l'expression de P(t) avec la somme et que tu regroupes tous les termes qui vont être en facteur de t², tu vas trouver tous les termes qui viennent de (xk-t*yk)²=xk²-2*t*yk+yk²*t², c'est à dire en regroupant tous les termes de la somme t²*(y1²+...+yn²)+ termes de degré <2.

Ensuite dire que ton polynome est de degré 1 çà veut dire que les termes de degré 2 sont nuls donc que y1²+...+yn²=0 et comme t'as une somme de termes positifs tu déduis que y1=...=yn=0

voilà

par **xon** » 19 Sep 2006, 21:16

ok, comme çà y aura quand même l'explication :we:

par **bitonio** » 19 Sep 2006, 21:17

et donc si le dégré de P est 1, on a aussi

si je ne m'abuse ?

par **xon** » 19 Sep 2006, 21:19

non, si le degre est 1 t'as toujours une solution, ton discriminant est pas négatif.

Par contre comme t'as montré que les yk sont tous nuls l'inégalité est immédiatement vraie

par **bitonio** » 19 Sep 2006, 21:22

Effectivement, ca nous donne

,

Bonne soirée et merci bien

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