égalité d'application linéaire

[Jonathan_]

Bonjour, j'ai un DM de math à faire qui est un sujet des mines je crois... dans ce sujet il faut montrer une equivalence...

Soient E,F,G 3 IR-espaces vectoriels tels que:
- G est de dimension finie
- g appartient à L(E,G) et f à L(E,F)

il faut montrer que:

il existe h appartenant a L(G,F) tel que f=hog (h rond g) <=> ker(g) est inclu dans ker(f)...

j'ai montre le sens direct, mais la reciproque me pose des problèmes parce que je vois pas comment "poser" de facon a ce que sa marche... et puis je vois pas ou utiliser le fait que G est de dimension finie...

[abcd22]

Bonjour,
Pour définir une application linéaire de G dans F il suffit de définir l'image des vecteurs qui sont dans Im(g) et l'image des vecteurs qui sont dans un supplémentaire donné H de l'image de g dans G.

[Jonathan_]

j'ai pense a faire quelquechose dans ce style la, mais ce qui me derange c la dimension finie de G en effet si G est de dimension finie im(h) le sera aussi or il fau montrer que f=hog et on a alors im(f) de dimension finie, mais rien ne laisse penser qu'on ne peut pas avoir l'inclusion des noyaux et im(f) de "dimension" infinie... je ne sais pas si mon raisonnement est correct si ce n'est pas le cas merci de me dire où je me trompe..

[abcd22]

Je ne sais pas si tu as vu le théorème de factorisation qui permet de prouver le théorème du rang, ça dit que si f est une application linéaire de E dans F, alors (c'est en fait valable pour tous les morphismes)(E/Ker f est isomorphe à tout supplémentaire de Ker f dans E). On applique ça à g, ça donne de dimension finie, et comme , on a une injection de dans (Ker g est plus petit que Ker f donc un supplémentaire de Ker g est plus grand qu'un supplémentaire de Ker f), donc f est de rang fini.
On n'a pas besoin de supposer f de rang fini ni de le montrer pour faire la démonstration de toute façon, c'est une conséquence de l'existence de la factorisation.

[Jonathan_]

merci beaucoup, mais le theoreme de factorisation, je ne le connait pas (encore?)...

EDIT: après vérification, sa apparait dans mon cour, mais pas sous forme de thèorème juste dans la démonstration du thèorème du rang...