EDO inhomogène second ordre

[TFM]

Bonjour,

Mon problème est à propos d'une équation différentielle linéaire inhomogènes à coefficients constants du second ordre.

voici l'ED : y''(t) + y(t) = 1 + sin(t)

On m'a enseigné qu'à partir de ça on peut déterminer que la solution particulière w(t) sera de la forme :

w(t) = c + xtcos(t) + ytsin(t)

Je trouve la dérivée première et seconde de w(t), et en remplaçant dans l'ED initiale, je trouve :

-2xsin(t) + 2ycos(t) + c = 1 + sin(t)

Jusque là, c'est correct selon mon corrigé.

En partant du fait que sin(t) et cos(t) sont 2 fonctions linéairement indépendantes, je pose le système composé des 2 équations suivantes :

2x = 1 - c
-2y = 2 - c

Le problème est qu'il me manque quelque chose pour pouvoir résoudre ce système, et le détail n'est pas indiqué dans mon corrigé. Les valeurs sont simplement affichées comme c = 1, x = -1/2, et y = 0

C'est là que je suis bloqué. Comment poser que c est égal à 1?

Mon idée à moi a été de dériver [ -2xsin(t) + 2ycos(t) + c = 1 + sin(t) ], et là j'arrive effectivement à trouver les valeurs de x et y, que je peux ensuite substituer pour trouver c. Mais je n'y vois absolument pas de logique, notre prof ne nous ayant pas parlé du fait qu'il faut dériver à ce moment là pour trouver ces solutions.

Quelqu'un a-t-il une explication? Ou simplement quel est la méthode à suivre à partir de là où j'ai indiqué que j'étais bloqué, plus haut?

Un grand merci pour votre aide d'avance.

[Pisigma]

Bonsoir,

En partant de -2xsin(t) + 2ycos(t) + c = 1 + sin(t), il vient par identification:

-2x=1
2y = 0 puisqu'il n'y a pas de terme en cos(t) dans le second membre
c=1

d'où

[TFM]

Ah d'accord je crois avoir compris. En fait, ma méthode lorsque j'ai essayé de faire par "identification", était apparemment fausse.. et je n'ai pas pensé à prendre en compte les constantes comme indépendantes, et donc "c".

Merci beaucoup pour ta réponse rapide !

[Pisigma]

Oui ton identification était fausse. De rien