ECS Suites et limites

[ZimbAbwé]

Bonjour,

Voilà je suis en train de chercher un exercice sur les limites de suites et équivalents et je bloque à une question. Voilà l'énoncé :

Soit (an) une suite telle que lim (an+1/an) = l quand n tend vers + l'infini (l appartenant à R) et un rang n0 à partir duquel an>0

1) Justifier que l appartient à R+

2) On suppose l dans [0;1[
Prouver qu'il existe un entier n1 tel que
quelque soit n>=n1, abs (an+1) <= (1+l) * abs(an) / 2
En déduire que la suite (an) converge vers 0 (on montrera que an est majoré par le terme général d'une suite géométrique convergente)

3) On suppose à présent que l > 1
Prouver qu'il existe un entier n2 tel que
quelque soit n >= n2 , abs (an+1) >= (1+l)*abs(an) / 2
En déduire la nature de la suite (an)

4) Déterminer les limites des suites de terme général :
2^n / n^3
et 2^n / n!

Je pense avoir réussi la question 1) en utilisant la définition de la limite (avec epsilon) et en utilisant la positivité de la suite à partir d'un certain rang. En revanche, je ne sais pas trop comment faire avec les questions suivantes. Faut-il utiliser de nouveau la définition de la limite et donner une valeur à epsilon ,comme (1-l) /2 ou quelque chose comme cela ?

Voilà, j'espère et que vous accepterez de m'aider

Merci

ZimbAbwé

[mathelot]

bjr,

l'idée , c'est que si la limite
l n'approche pas 1.

On peut travailler avec des epsilons suffisamment petits
tels que



ce qui assure