Pb d'écologie-proba

[marcus]

Bonjour,

je me creuse les méninges sur un pb de modélisation en écologie et je sèche...Mon pb est le suivant : on suppose que des plantes peuvent avancer leur date de germination afin d’allonger leur cycle de vie et produire plus de descendants (avantage sélectif). cependant, cette stratégie peut être fatale (par exemple gelées tardives qui vont détruire tout). Mon problème est un pb de théorie des jeux. On suppose que les plantes poussent dans pleins de petit patch dont chacun a une probabilité e de s'éteindre, proba qui dépend de la stratégie de la plante par exemple e=a t si t est le temps d'avancée de germination. je suppose deux types d'individus t1 et t2 et je cherche la composition des patchs après l'extinction potentielle (on note e1 extinction avec la stratégie t1, e2 extinction avec t1)

patchs avec type 1 et type 2 =(1-e1) (1-e2)
patchs avec type 1 seulement =(1-e1)e2
patchs avec type 2 seulement =(1-e2)e1
patchs vide=(e1) (e2)

ceci est vrai si l'extinction des types 1est indépendante des types 2 (suffisamment éloignée).
Mais quand t1 est proche de t2, les évènements d'extinction vont concerner les mêmes patchs, à la limite qd t1=t2 alors on a :

patchs avec type 1 et type 2 =(1-e1)
patchs avec type 1 seulement =0
patchs avec type 2 seulement =0
patchs vide=(e1)

Mon problème est d'écrire cela en incorporant une fonction de corrélation entre état, bref, comment décrire le fait que type 1 et type 2 ont plus de chances de s’éteindre (ou pas) ensemble? est ce que ça ressemble à un pb connu?

Suis je clair?

[Ben314]

Salut,
Au niveau mathématique, c'est pas archi super clair, mais à la limite, on peut comprendre ton truc comme deux loi de Bernoulli d'espérance respectives et pas forcément indépendante.
Dans ce cas, si on note ce qu'on appelle en math. le "coefficient de corrélation" entre les deux variable alors :
- En toute généralité, ce coefficient est compris entre -1 et 1 (au sens large) avec qui traduit l'indépendance des deux variables et qui traduit la dépendance complète des deux variables.
- Dans ton cas à toi (deux Bernoullis), en supposant par exemple que , ce coefficient va forcément être compris entre 0 et qui est et qui ne peut être que si (logique : il ne peut y avoir corrélation parfaite que si les deux loi ont la même proba)
- Enfin, si on note (qui est le produit des deux variances) alors, avec une corrélation égale à (entre et ), on obtient :
patchs avec type 1 et type 2
patchs avec type 1 seulement
patchs avec type 2 seulement
patchs vide
Qui donne bien les deux cas particulier que tu cite (modulo de voir que, si , c'est forcément que donc que et que dans ce cas )

[marcus]

Merci bcp pour cela. il s trouve que je bute maintenant sur autre chose mais je crains que le pb ne puisse pas être résolu. Comme ce qui m’intéresse in fine c'est l'évolution des stratégies de germination, Je crée donc une dépendance entre la proba d'extinction e et la stratégie de germination (ex: e=a.t, où est l'avancée de germination, t>0, a>0). Bref, à un moment, il va falloir que je dérive les fonctions par rapport à t. et là pb. Les 4 proba sont des fonctions continues de t mais pas de classe C1 (c'est comme ça qu'on dit, je crois) au point t1=t2...
ça m’embête de partir avec un truc bancal...il faut que je réfléchisse à modéliser le pb différemment...