J'ai quelques difficultés sur un DM, voici l'énoncé et ma progression :
Soient n un entier naturel non nul et a un nombre réel strictement positif.
On considère la fonction Fn définie sur ]0;+∞ [ par : Fn(x) = 1/x + 1/(x+1) +1/(x+2) + ... + 1/(x+n) - a.
1) Dresser le tableau de variations de Fn.
Pour cette question j'ai calculé sa dérivée.
Fn'(x) = -1/x^2 - 1/(x+1)^2 - 1/(x+2)^2 - ... - 1/(x+n)^2
La dérivée est négative car le dénominateur est strictement positif.
La fonction est donc strictement décroissante sur I.
2) Montrer que l'équation Fn(x)=0 admet une solution unique que l'on notera Xn.
Fn est continue (somme des fonctions continues)et strictement décroissante sur I.
La limite de Fn(x) quand x tend vers 0+ est +∞ (car la limite de 1/x quand x tend vers 0+ est +∞ )
La limite de Fn(x) quand x tend vers +∞ est -a (car la limite de 1/x quand x tend vers +∞ est 0)
Fn(]0.+∞[)=]-a,+∞[
Fn est une bijection de ]0,+∞[ vers ]-a,+∞[
alors l'équation Fn(x)=0 possède dans ]0,+∞[ une solution unique notée Xn.
3) a. Montrer que pour tout réel x>0, on a : 1/(x+1) ≤ Ln((x+1)/x) ≤ 1/x
Je bloque sur cette question
Merci d'avance pour vos réponses !!
