Droit de définir une application ?

[Bizarre]

Bonsoir,

Je veux montrer qu'une application f : E->F est bijective (càd injective et surjective)
il existe une application g : F->E telle que gof = IdE et fog = IdF

Pas de souci pour le sens indirect, mais c'est moins clair pour le sens direct, car la correction propose ceci pour le sens direct :
"Si f : E->F est bijective, pour tout y appartenant à F, il existe unique x appartenant à E tel que f(x) = y. On peut donc poser g(y) = x et définir une application g : F->E telle que gof = IdE et fog=Id"

Je vois l'idée, mais je ne comprends pas pourquoi "on peut" faire ça. Comme pour tout élément y de l'ensemble F, il existe un unique élément x dans E tel que g(y) = x, je vois qu'en ce sens g est bien une application, mais est-ce suffisant ?
De même, on "force" g à être telle que gof = IdE et fog=Id. Ok, mais pourquoi a t'on le droit d'imposer ces conditions?
En gros, comment être sûr que g existe bien?

Plus généralement : quand a t'on le droit de définir une application, avec certaines conditions etc,...?Peut-on faire un raisonnement de type analyse/synthèse dans ces cas?

Merci !

[chan79]

salut
Puisque f est bijective, pour tout y de F, il existe un unique x de E tel que f(x)=y
On pose g(y)=x (g(y) est l'antécédent de y)
Montrons que gof=IdE
soit x un élément de E
on pose y=f(x) (x est l'antécédent de y)
g(f(x))=g(y)=x

Montrons que fog=IdF
soit y un élément de F et x son antécédent
(fog)(y)=f(g(y))=f(x)=y

[zygomatique]

salut

on ne force pas g à .... on vérifie que ...!!

si f est bijective de E dans F alors pour tout y dans F il existe unique x dans E tel que f(x) = y

on peut donc poser g(y) = x

et alors g o f(x) = g(f(x)) = g(y) = x donc g o f = I

de même f o g(y) = f(g(y)) = f(x) = y donc f o g = I

[Bizarre]

Merci pour vos réponses, je n'avais pas compris qu'on vérifiait les conditions.

zygomatique, tu écris : "on peut donc poser g(y) = x". Pourquoi peut-on faire ça? Pour quelle raison peut-on poser ça et pas autre chose?
On le fait tout simplement parce qu'on sait que derrière, en vérifiant les conditions, ça marche?

Et comment être sûr que g est bien une application ?

A ce stade, j'ai bien compris que si on définissait g ainsi, elle vérifiait les conditions. Mais je ne vois pas que c'est bien une application.

[zygomatique]

mais qu'est-ce qu'une application ? !!!!

parce qu'il y a des mots en gras !!!

et pas autre chose ? ben parce qu'on a pas d'autres infos !!!

maintenant si E et F sont finis tu peux très bien poser g(y) = s(x) où s est une permutation de E ....

[Mikihisa]

Parceque il n'y a qu'un seul choix possible pour g(y), car il y a bijectivite.

Dans le cas ou f n'est pas bijective, a y=f(x) correspondrait plusieurs x différent et on ne pourrais pas définir une application.

[Cauchy2010]

En toute rigueur, si, mais on devrait parler d'une application multivoque ou correspondance. Mais on entre alors dans des questions de topologie générale.

[Mikihisa]

Oui ou par un quotientage aussi

[Bizarre]

Donc,

Le seul critère pour définir une application, c'est qu'à chaque élément de l'ensemble de départ corresponde un élément unique dans l'ensemble d'arrivée?

[chombier]

Donc,

Le seul critère pour définir une application, c'est qu'à chaque élément de l'ensemble de départ corresponde un élément unique dans l'ensemble d'arrivée?

Parfaitement, c'est la définition même d'une application.

[Doraki]

Concrètement, la façon dont on construit une fonction f en théorie des ensembles est avec un triplet
(E,F,G), où E est appelé ensemble de départ de f, F est appelé ensemble d'arrivée de f, et G est appelé graphe de f et doit avoir la propriété suivante :

G est inclus dans E x F
Pour tout x de E, il existe un unique y de F tel que (x,y) est dans G
(il existe y dans F tel que (x,y) est dans G, et si y et z sont dans F et si (x,y) et (x,z) sont dans G alors y=z)

dans ce contexte, si x est un élément de E, f(x) est un raccourci pour désigner l'unique élément y de F tel que (x,y) est dans le graphe de f.


Si tu as une application bijective f : E -> F,
alors pour montrer l'existence de g tu dois juste donner ses ensembles de départ et d'arrivée (facile, ce sont F et E), et le graphe de g.
Mais le graphe de g c'est {(y,x) de F x E tels que f(x)=y (ou tels que (x,y) est dans le graphe de f)}

Tu dois montrer que pour tout y de F il existe un x de E tel que f(x) = y, et c'est précisément la surjectivité de f
Tu dois montrer que pour tout y de F, si x1 et x2 sont tels que f(x1) = f(x2) = y, alors x1 = x2, et c'est précisément l'injectivité de f

[Bizarre]

Mais le graphe de g c'est {(y,x) de F x E tels que f(x)=y (ou tels que (x,y) est dans le graphe de f)}

Je crois que c'est là que je coince...J'aurais écrit : Le graphe de g c'est {(y,x) de F x E tel que g(y) = x}, mais là je tourne en rond... Comment en posant g(y) = x on montre que g est bien une application :/ ? Comment montrer que les x et y tels que g(y) = x coïncident avec ceux qui vérifient f(x)=y?

[zygomatique]

je crois que tu ne sais pas ce que sont les lettres x et y (formellement) ....

f est une application de E dans F :: c'est donc un ensemble du type

x parcourant tout E !!!

maintenant si f est bijective alors ::

1/ y parcourt tout F
2/ si (x, y) et (u, v) sont deux couples de cet ensemble on a : x = u y = v


alors la bijection réciproque g de F est l'ensemble d'après 1/ et 2/

...

[Doraki]

Je crois que c'est là que je coince...J'aurais écrit : Le graphe de g c'est {(y,x) de F x E tel que g(y) = x}, mais là je tourne en rond... Comment en posant g(y) = x on montre que g est bien une application :/ ? Comment montrer que les x et y tels que g(y) = x coïncident avec ceux qui vérifient f(x)=y?

Le moment où tu définis le graphe de g c'est le moment où tu décides ce que g fait.
T'as pas le droit de parler de g(x) à ce moment là vu que tu tournerais en rond.

Toi tu veux quoi ? que g soit une réciproque de f, c'est à dire que g(f(x)) = x, pour tout x de E (et f(g(y)) = y pour tout y de F).
Qu'est-ce que ça dit sur les images des y par g ? Ben que si y est de la forme f(x), alors g(y) DOIT être égal à x. Donc que si (x,y) est dans le graphe de f, (y,x) doit être dans le graphe de g.
Et l'autre propriété demande l'implication inverse : si g(y) = x alors f(x)=y, et donc si (y,x) est dans le rgaphe de g, (x,y) doit être dans le graphe de f.

Et donc tu n'as pas le choix pour le graphe de g, c'est forcément le "symétrique" du graphe de f.
Tu n'as pas besoin de parler de g(x) pour aucun x pour décider que le graphe de g doit être {(y,x) / x est dans E et (x,y) est dans le graphe de f}. Donc tu ne tournes pas en rond et ça définit bien quelquechose.

[effet]

Je pense que tu as un souci de notation,la fonction g en fait se note aussi f-1 qui est la fonction réciproque de f,si au départ ta fonction f te donne l'image de x qui est y ,alors f-1 permet a cette meme image y de retrouver son antécédent x
c'est comme voyager dans le temps et revenir en arrière.

Donc si f est une bijection de E dans F et f-1 sa bijection réciproque alors:
fof-1=Idf f-1of=Ide

fog=Idf gof=Ide tu vois g=f-1