Double produit vectoriel

[Pythales]

Bonjour
Soit à évaluer .
Il est clair que est dans le plan soit
Par ailleurs soit
et
Jusque là tout va bien, mais comment démontrer, sans bien sûr faire appel aux composantes de :
- que est indépendant de
- que , ce qui est facile si on a démontré ce qui précède.
Si quelqu'un a des lumières ...

[nuage]

Salut Pythales

Bonjour
Soit à évaluer .
Il est clair que est dans le plan soit
Par ailleurs soit
et
Jusque là tout va bien, mais comment démontrer, sans bien sûr faire appel aux composantes de :
- que est indépendant de
- que , ce qui est facile si on a démontré ce qui précède.
Si quelqu'un a des lumières ...

Je ne comprend pas pourquoi tu ne veux pas faire appel aux composantes de .

Ça facilite vraiment le problème. Si on se place dans un repère adapté.

[Pythales]

Je suis d'accord, mais la démo est un peu lourde.
J'essaye d'en trouver une autre plus directe et plus élégante.

[yos]

Il est clair que est dans le plan soit

Salut.
C'est toi qui a commencé, avec des coordonnées.
Pour la dernière étape, il y a sûrement une astuce à trouver, mais ne revient-elle pas à écrire V dans (X,Y') où Y' est dans le plan (X,Y) et est orthogonal à X ?

[Pythales]

Quand je parlais de composantes, j'évoquais le fait de prendre un repère orthonormé et de dire : soient les composantes de ..., de calculer les composantes de etc...
Cela dit, je sais démontrer que ne dépend pas de la longueur de c.a.d. qu'on ne change pas la valeur de avec , mais je ne sais pas (encore) démontrer qu'il est indépendant de leur orientation

[yos]

En pratique, on prend le ROD (u,v,w) avec u=X/||X||, v orthogonal à X dans (X,Y) et . Et là il n'y a rien de laborieux à vérifier la formule car X(a,0,0), Y(b,c,0), Z(d,e,f).

[Pythales]

Oui, Yos, je sais, mais tu emploies toi-même le terme "vérifier", ce qui veut dire que ce n'est pas une méthode d'investigation.
Je coupe peut-être les cheveux en 4, mais la démarche que j'utilise (et qui n'est pas entièrement de moi) se rapproche plus de la géométrie pure que de l'analytique et a de ce fait un caractère plus direct.
Mais peut-être est-il impossible d'aller jusqu'au bout de la démo sans passer par l'analytique.

[yos]

tu emploies toi-même le terme "vérifier", ce qui veut dire que ce n'est pas une méthode d'investigation.

En effet.
Peut-être que l'interprétation de comme la composée de la projection orthogonale sur v, de la rotation autour de u, d'angle pi/2 et d'une homothétie peut t'aider.
(v est une direction perpendiculaire à u dans (u,x)).
A vérifier.

[Maxmau]

Bj
Ca n'apporte pas grand chose
mais peut-être que ça correspond un peu plus aux préoccupationsde Pythales

U,V,W des vecteurs de l’espace
(U ^ V) ^ W et (U.W)V – (V.W)U sont proportionnels
L’étude de cas particuliers montrent qu’il est raisonnable de postuler que le coefficient de proportionnalité est égal à 1.
U,V étant donnés non colinéaires
;)(W) = (U ^ V) ^ W et ;)(W) = (U.W)V – (V.W)U
Sont des applications linéaires qui coincident
pour W = U ^ V , W = U , W= V
Elles sont donc égales

Pour ;)(U) = ;)(U), on montre que ces 2 vecteurs sont tous deux orthogonaux à U ^ V et U, qu’ils ont même direction et même norme