Double morphisme de corps

[Judoboy]

Plop à tous, je me posais une question :

Si on a 2 corps K1 et K2, et qu'il existe un morphisme de corps de K1 vers K2 et un morphisme de K2 vers K1, est-ce que K1 et K2 sont forcément isomorphes ? Y a pas mal de cas où ça marche, je suppose que c'est vrai dans le cas général vu qu'en gros K1 contient une copie de K2 et réciproquement, mais comme on peut probablement pas expliciter dans le cas général l'isomorphisme entre K1 et K2 je sais pas comment le montrer. Vous en pensez quoi ?

[Nightmare]

Hello,

on sait qu'ils ont même cardinal par Cantor-Bernstein, c'est déjà ça. Par contre je crois pas qu'ils aient nécessairement même structure.

On peut regarder du côté des corps de fraction, genre C et C(X). C s'injecte trivialement dans C(X) et on devrait pouvoir montrer que C(X) s'injecte dans C part des histoires de clôture algébrique. Si c'est le cas c'est bon parce qu'ils ne sont pas isomorphes.

J'y réfléchis.

[Doraki]

Ton contre-exemple marche, il se voit mieux en prenant
K = cloture algébrique de Q(X0, X1, ...) ; et L = K(Y).
L est une extension de K et on injecte L dans K en faisant Y -> X0 -> X1 -> X2 -> ...

K et L ne sont pas isomorphe parceque L n'est pas algébriquement clos, par exemple Y n'est pas un carré dans L alors que tout le monde est un carré dans K.

[Judoboy]

Doraki je suis pas sûr de bien voir, dans ton exemple Q(X0,X1,...) c'est les fractions rationnelles sur Q à une infinité d'indéterminées c'est ça ?

[Doraki]

oui c'est bien ça.

[Judoboy]

Bah je vois pas bien l'injection de L dans K alors...

[Doraki]

f(Y) = X0 et f(Xi) = X(i+1).

[Judoboy]

Bah oui mais L il est bien plus gros que Q(Y,X0,X1,...) Ca suffit de donner les images de Y,X0,X1 ?

[Doraki]

Ben comme K contient une cloture algébrique de Q(X1,X2,X3....), tu peux étendre un morphisme de Q(X0,X1,X2,...) -> Q(X1,X2,X3....) en un morphisme entre les clotures algébriques. Et ensuite tu rajoutes que Y doit être envoyé sur X0, et tu as un morphisme de L dans K.