Double Integrale difficile

[Anonyme]

Bonjour,
Je n'arrive pas à résoudre un exercice de révision : Je cherche à integrer
Double integrale( y^2 * sin(x^4) ) avec x,y compris entre 0 et 1 compris.
Merci d'avance.

[quinto]

Salut,
tu es sur que le ^4 est dans le sinus?
Je préconise l'utilisation du théorème de Tonelli pour séparer les 2 intégrales, et pour le sinus je ne vois pas un truc trivial à première vue. Peut être un développement en série ?

[Anonyme]

Sur mon énoncé le puissance 4 est bien dans le sinus

[quinto]

Bizarre parce que Maple lui même de me trouve rien de façon exacte.
L'intégrale de y² sur [0,1] c'est 1/3, donc ton inégrale double vaut
Intégrale de sin(x^4)dx/3 sur [0,1]

Notamment si tu sais calculer cette intégrale c'est gagné, mais je ne pense pas que ce soit trivial.

En revanche,
x->s(x)=x-x^3/3!+x^5/5!+... converge uniformément vers sin sur [0,1].
Notamment
sin(x^4)=x^4-x^(12)/3!+x^20/5!+.... sur [0,1]
A cause de la convergence uniforme, on trouve que, si je note c(x) la primitive de x->sin(x^4) qui s'annule en 0:
c(x)=x^5/5-x^13/(3!*13)+x^21/(5!*21)+... sur [0,1]
et ton intégrale double vaut donc
c(1)/3=1/3*(1/5-1/(3!*13)+1/(21*5!)+...)
grossièrement ca vaut 0.06252